線形代数Ｉ/教科書演習/１Ａ−３ の変更点

更新 
* 演習問題１Ａ−３ [#u83e7cc9]

&math(\bm{C}); は &math(\bm{R}); 上のベクトル空間であることを示せ。
また、基底を１組作れ。

* 解答 [#me8b445d]

前半は、

&math(z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2,z_3=x_3+iy_3 \in \bm{C});, &math(r,s \in \bm{R}); に対して、

加法が&math(\bm{C});に閉じていること、
数乗法が&math(\bm{C});に閉じていること、
および、これらの演算が教科書P2〜3のベクトル空間の８つの公理を
満たすことを示せばよい。

(A) 加法が&math(\bm{C});に閉じている

&math(z_1+z_2&=x_1+iy_1+x_2+iy_2\\&=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \in \bm{C}); 

(B) 数乗法が&math(\bm{C});に閉じている

&math(rz_1=(rx_1)+i(ry_1) \in \bm{C}); 

(1) 加法の交換法則

&math(z_1+z_2=z_2+z_1);

(2) 加法の結合法則

&math((z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3));

(3) ゼロ元の存在

&math(z_1+0=z_1); ただし &math(0=0+i0 \in \bm{C});

(4) 逆元の存在

&math(z_1=x_1+iy_1 \in \bm{C}); に対して、&math(-z_1=-x_1-iy_1 \in \bm{C}); が
存在する。

(5) １倍

&math(1\cdot z_1=z_1);

(6) 数乗法の結合法則

&math(r \cdot (s \cdot z_1)=(r \cdot s) \cdot z_1);

(7) 数乗法の分配法則１

&math((r + s) \cdot z_1=r \cdot z_1 + s \cdot z_1);

(8) 数乗法の分配法則２

&math(r \cdot (z_1+z_2)=r \cdot z_1 + r \cdot z_2);

後半部分、

基底とは与えられたベクトル空間を張ることのできる線形独立なベクトルの組なので、
例えば &math(1); と &math(i); を取るばよい。

これらが基底を為すことは、任意の &math(z_1=x_1+iy_1 \in \bm{C}); を
&math(z_1=x_1 \cdot 1 + y_1 \cdot i); と書けること、すなわち、
&math(1, i); が &math(\bm{C}); を張る（&math(\bm{C}=[1,i]);）ことと、
&math(1, i); が線形独立、つまり &math(x_1 \cdot 1 + y_1 \cdot i=0); 
ならば &math(x_1=y_1=0); であることから明らか。

* コメント [#i4d163d4]

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