量子力学/Secular Approximation の変更点

更新 
[[量子力学Ⅰ]]

* Secular Approximation について [#y3fea9b2]

[[Secular Approximation とは - 物理とか>https://whyitsso.net/physics/quantum_mechanics/perturbation6.html]] を参考に勉強したことをまとめてみた。~
[[Secular Approximation とは - 物理とか>https://whyitsso.net/physics/quantum_mechanics/perturbation6.html]] を参考に勉強したことをまとめてみました。~
（元の記事がとても良く書かれているので、あまり変わっていない感じかもしれないのだけれど）

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** 摂動を相互作用表示する [#j371389f]

あるハミルトニアン $\hat H_0$ の固有値を $\varepsilon_n=\hbar\omega_n$、固有関数を $|n\rangle$ とする。

$$
\hat H_0|n\rangle=\varepsilon_n|n\rangle
$$

このとき、$\hat H_0$ をスペクトル分解して書けば、

$$
\hat H_0=\sum_n \varepsilon_n|n\rangle\langle n|
$$

である。

ここに、あらわに時間を含まない摂動 $\lambda\hat H_1$ を加えることを考える。

$$
\hat H=\hat H_0+\lambda\hat H_1
$$

このとき、

$$
i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle
$$

に対して相互作用表示と呼ばれる表示を使うことで、$|\psi_I(t)\rangle$ の時間発展を考えよう。

$$
|\psi_I(t)\rangle=e^{i\hat H_0t/\hbar}|\psi(t)\rangle
$$

これを代入すると、

$$
\begin{aligned}
i\hbar\frac d{dt}\Big[e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle\Big]&=
\cancel{\hat H_0}e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle+i\hbar e^{-i\hat H_0t/\hbar}\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle\\
&=\Big(\cancel{\hat H_0}+\lambda\hat H_1\Big)e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle
\end{aligned}
$$

$$
i\hbar e^{-i\hat H_0t/\hbar}\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle=\lambda\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle
$$

$$
i\hbar\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle=\lambda \underbrace{e^{i\hat H_0t/\hbar}\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}}_{\hat H_I(t)}|\psi_I(t)\rangle
$$

$$
i\hbar\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle=\lambda \hat H_I|\psi_I(t)\rangle
$$

として、$|\psi_I(t)\rangle$ に対するハミルトニアン $\lambda\hat H_I(t)$ は

$$
\hat H_I(t)=e^{i\hat H_0t/\hbar}\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}
$$

と書き表せることになる。

時間発展演算子 $\hat U_I(t)$ を

$$
|\psi_I(t)\rangle=\hat U_I(t)\, |\psi_I(0)\rangle
$$

と定義すれば、

$$
i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)\, |\psi_I(0)\rangle=\lambda \hat H_I\hat U_I(t)\, |\psi_I(0)\rangle
$$

$$
i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)=\lambda \hat H_I\hat U_I(t)
$$

が導かれる。


$e^{\pm i\hat H_0t/\hbar}$ に $\hat H_0$ のスペクトル分解を代入すれば、

$$
\begin{aligned}
e^{\pm i\hat H_0t/\hbar}
&=\hat 1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm i\hat H_0t/\hbar)^k\\
&=\hat 1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm it)^k\Big(\sum_n\omega_n|n\rangle\langle n|\Big)^k\\
&=\underbrace{\sum_n |n\rangle\langle n|}_{\hat 1}+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm it)^k\Big(\sum_n\omega_n^k|n\rangle\langle n|\Big)\\
&=\sum_n\Big(1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm i\omega_nt)^k\Big)|n\rangle\langle n|\\
&=\sum_n e^{\pm i\omega_nt}|n\rangle\langle n|\\
\end{aligned}
$$

であるから、

$$
\begin{aligned}
\hat H_I&=e^{i\hat H_0t/\hbar}\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}\\
&=\Big(\sum_n e^{i\omega_nt}|n\rangle\langle n|\Big)\hat H_1
\Big(\sum_m e^{-i\omega_mt}|m\rangle\langle m|\Big)\\
&=\sum_n\sum_m \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|\\
\end{aligned}
$$

すなわち、

$$
i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)=\lambda \sum_n\sum_m \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|\hat U_I(t)
$$

を得る。

この形は、$\hat U_1(t)$ に $|n\rangle$ 表示で $\lambda\hat H_1$ を行列の積として掛けつつ、非対角項については $\hat H_0$ に起因する位相の回転数の違いを調整しているっぽい形だ。

ここまでの話には近似は入っていない。

** Secular Approximation [#ef8e41d5]

上記の右辺から、$|\omega_n-\omega_m|\ll |\lambda|$ となる項のみを残し、その他を無視するというのが Secular Approximation と呼ばれる近似である。

$$
i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)\sim\lambda \sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|\hat U_I(t)
$$

$\lambda$ に比べて $|\omega_n-\omega_m|$ が大きい項を無視できる理由は次のように考えられる。$\hat U_I(t)$ の時間変化速度は $\lambda$ に比例するものであるから、そのような項では十分な時間発展をする前に $e^{i(\omega_n-\omega_m)t}$ の位相が回転し、符号が回転するため、$U_I(t)$ を小刻みに振動させるのみで $U_I(t)$ に大きな変化を生まないためである。

これはすなわち、

$$
\hat H_I\sim\sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|
$$

と近似していることになり、

$$
\hat H_1\sim\sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m|
$$

と近似していることになる。つまり、$\hat H_1$ を $|n\rangle$ を基底に行列表示した際に、$|\omega_n-\omega_m|\,\gtrsim\,|\lambda|$ となる項、つまり対角線から離れた項をゼロに置き換えて良いと。

さらに、$t\ll\omega_n-\omega_m$ においては $e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\sim 1$ となるから、

$$
\hat H_I\sim\sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \langle n|\hat H_1|m\rangle\,|n\rangle\langle m|\sim\hat H_1
$$

と近似することもできる。

** なぜ $\lambda$ との比較になるのか [#iaaea679]

$|\omega_n-\omega_m|$ の大きさを $\lambda$ と比べて評価する理由は、

$$
i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)=\lambda\hat H_I(t)U_I(t)
$$

を、

$$
\hat U_I(t)=\hat 1+\lambda\hat U_I^{(1)}(t)+\lambda^2\hat U_I^{(2)}(t)+\dots
$$

のように展開して解けば明らかになる。

$$
\begin{aligned}
&i\hbar\frac d{dt}\Big(\hat 1+\lambda\hat U_I^{(1)}(t)+\lambda^2\hat U_I^{(2)}(t)+\dots\Big)\\
&=\lambda\hat H_I(t)\Big(\hat 1+\lambda\hat U_I^{(1)}(t)+\lambda^2\hat U_I^{(2)}(t)+\dots\Big)
\end{aligned}
$$

$\lambda$ に対する最低次項 $U_I^{(1)}(t)$ の時間発展は、

$$
i\hbar\frac d{dt}\hat U_I^{(1)}(t)=\hat H_I(t)
$$

すなわち、

$$
\hat U_I^{(1)}(t)=\frac{-i}{\hbar}\int_0^t\hat H_I(t')\,dt'
$$

であるから、$U_I(t)$ について $\lambda$ に対する最低次の項のみ残せば、

$$
U_I(t)\sim \hat 1+\frac{-i\lambda}{\hbar}\int_0^t\hat H_I(t')\,dt'
$$

となることが分かる。この $\hat H_I$ を上記の表式で書きかえれば、

$$
U_I(t)\sim \hat 1+\frac{-i}{\hbar}\sum_n\sum_m \lambda\bigg(\int_0^t e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}\,dt'\bigg)\langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m|
$$

積分をするには $\omega_n=\omega_m$ であるケースを分けて考える必要があり、

$$
\int_0^t e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}dt'=\left\{\begin{matrix}
\frac{e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}-1}{i(\omega_n-\omega_m)}&(\omega_n\ne\omega_m)\\
t&(\omega_n=\omega_m)\\
\end{matrix}\right.
$$

であるから、

$$
\begin{aligned}
U_I(t)\sim \hat 1+\frac{-i}{\hbar}\sum_{\omega_n\ne \omega_n} \frac{\lambda(e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}-1)}{i(\omega_n-\omega_m)}\langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m|\\+
\frac{-i}{\hbar}\sum_{\omega_n\ne \omega_n}\lambda t\langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m|
\end{aligned}
$$

となる。

この表式から、確かに $|\omega_n-\omega_m|\gg\lambda$ の項を無視できることが読み取れる。

* コメント・質問 [#r3a99c06]

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