量子力学Ⅰ/不確定性原理 の変更点

更新 
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* 目次 [#k681cc07]

#contents
&katex();

* 同時固有関数 [#hb461116]

これまでことある毎に量子力学においては観測値は「確率的にしか決まらない」と話してきた。
具体的には、波動関数 $\varphi$ が物理量の固有関数 $\{\varphi_{\lambda_i}\}$ により

$$\begin{aligned}
\varphi=\sum_i c_i\varphi_{\lambda_i}
\end{aligned}$$

のように展開できるとき、この状態に対する測定値が固有値 $\lambda_i$ を取る確率は

$$\begin{aligned}|c_i|^2\end{aligned}$$

となる。

ただしこれには例外があって、その状態が「物理量演算子の固有関数」 そのものとなっている場合については物理量が ''確定値'' を取るのであった。

したがって、もし波動関数 $\varphi$ が物理量 $\hat\alpha$ と $\hat\beta$ 
の「同時固有関数」（両方の固有関数）であれば、その状態に対して物理量 
$\alpha,\beta$ はどちらも確定値を取ることになる。

>例：~
運動量の固有関数は、完全に自由な電子に対するハミルトニアンの固有関数でもあるから、
$\bm p=\hbar \bm k,\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ は同時に確定値を取る。

このとき $\hat\alpha\varphi=\lambda_\alpha\varphi$、$\hat\beta\varphi=\lambda_\beta\varphi$ とすれば

$$\begin{aligned}\hat\alpha\hat\beta\varphi=\hat\alpha\lambda_\beta\varphi=\lambda_\alpha\lambda_\beta\varphi\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\hat\beta\hat\alpha\varphi=\hat\beta\lambda_\alpha\varphi=\lambda_\beta\lambda_\alpha\varphi\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi=0\end{aligned}$$

となる。

したがって、
$(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi= 0$ となるような $\varphi$ 
が存在しない $\alpha,\beta$ に対しては、同時固有関数は存在しない。
→ $\alpha,\beta$ の両方が確定値を取る状態は存在しない

（逆に、$\mathrm{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ には 
$\hat\alpha,\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交完全系を常に見つけられる
ことを[[証明可能である>量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ#yd578141]]）

* 位置と運動量 [#b3565353]

　$(x\hat p-\hat px)\varphi=i\hbar\varphi\ne 0$ (($\begin{aligned}(x\hat p-\hat px)\varphi&=\left(x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}x\right)\varphi\\&=-i\hbar\left\{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(x\varphi)\right\}\\&=-i\hbar\left\{\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}-\varphi-\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}\right\}\\&=i\hbar\varphi\end{aligned}$))

であるから、$x$ と $\hat p$ の同時固有関数は存在せず、
両者が同時に確定するような量子状態は存在しない。

これがどういうことか、以下、具体的に見てみよう。

運動量が確定値 $p=p_0$ を取る「運動量の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{p=p_0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip_0 x/\hbar}\end{aligned}$$

だが、このとき

$$\begin{aligned}|\varphi_{p=p_0}(x)|^2=1/2\pi\end{aligned}$$

であるから、位置に対する確率密度は全空間で一定値を取る。

すなわち $x$ 座標は ''完全に不確定'' になる。
（そのためこの関数は通常の意味では規格化できない）

すなわち、$\sigma_p=0$ であれば $\sigma_x=+\infty$ となる。

逆に $x$ 座標が確定値 $x=x_0$ を取る「位置の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{x=x_0}(x)=\delta(x-x_0)\end{aligned}$$

であるが、これを運動量の固有関数で展開すれば、

$$\begin{aligned}
\varphi_{x=x_0}(x)
=\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} e^{ik(x-x_0)} dk}_{\text{デルタ関数の定義}}
=\int_{-\infty}^\infty \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ikx_0} }_{\text{一様な大きさの係数}}\ \times\underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} }_{運動量\,\hbar k\,の固有関数} dk
\end{aligned}$$

となる。これはあらゆる波数の固有関数を均等な重みで重ね合わせた関数である。

重みが一定 ＝ 確率密度が一定 であるから、
運動量の測定値は ''完全に不確定'' になる。

すなわち、$\sigma_x=0$ であれば $\sigma_p=+\infty$ となる。

２つの演算子が交換しないとき（同時固有関数を持たないとき）、
片方を完全に確定すれば、もう一方は完全に不確定となるのである。

この両極端の場合を除けば $\sigma_x$ も $\sigma_p$ も有限値を取ることになるが、
以下に示すように、このとき必ず

$$\begin{aligned}
\sigma_x\cdot\sigma_{p_x} \ge \frac{\hbar}{2}
\end{aligned}$$

となる。

$\sigma_x$ と $\sigma_{p_x}$ を同時にゼロにすることはできない、
というこの結論は、「不確定性原理」 の一例である。

* 不確定性の導出 [#g5fe668e]

$\hat\alpha,\hat\beta$ をエルミート演算子とする。

ある波動関数 $\varphi$ に対するこれらの期待値 
$\langle\alpha\rangle, \langle\beta\rangle$
を使って２つの演算子
$\Delta \hat\alpha=\hat\alpha-\langle\alpha\rangle$, 
$\Delta \hat\beta=\hat\beta-\langle\beta\rangle$ 
を作れば、これらもエルミートになるから、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)
&\equiv\|(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\|^2
=\Big((\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
\end{aligned}$$

と置けば、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)&=\Big(\Delta\hat\alpha\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\Delta\hat\beta\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&\hspace{3cm}\mathrm{↓}\,\Delta\hat\alpha,\Delta\hat\beta\,\text{のエルミート性を利用}\\
&=\Big(\varphi,\ \Delta\hat\alpha(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\varphi,\ \Delta\hat\beta(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&=\Big(\varphi,\ (\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\hspace{5mm}\text{つまり$\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)^\dagger=\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta\ $}\\
&=\Big\langle(\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\Big\rangle\\
&=\langle\Delta\alpha^2\rangle+i\lambda\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle+\lambda^2\langle\Delta\beta^2\rangle\\
&\geqq 0
\end{aligned}$$
が任意の実数 $\lambda$ に対して成り立つ。すなわち、判別式を取れば負になる。

$$\begin{aligned}
&-\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2-
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle\leqq 0\\
\end{aligned}$$

$\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle$ は純虚数またはゼロになるので（そうでないと $I(\lambda)$ が実数にならない）、((数学的には、$\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha$ が&ruby(わい){歪};エルミートであるために(エルミート共役を取ると符号が反転する $A^\dagger=-A$)、その対角成分が純虚数またはゼロになり、当然そのトレースも純虚数またはゼロになる))

$$\begin{aligned}
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle &\geqq -
\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2 \\ &=
|\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle|^2
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta=\sqrt{\langle\Delta\alpha^2\rangle}\sqrt{\langle\Delta\beta^2\rangle}\geqq \left|\frac{\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle}{2}\right|
\end{aligned}$$

さらに、

$$\begin{aligned}
\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha&=
(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)(\hat\beta-\langle\beta\rangle)-
(\hat\beta-\langle\beta\rangle)(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)\\
&=\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha
\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta\geqq \left|\frac{\langle\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha\rangle}{2}\right|\end{aligned}$$

この式は任意の $\varphi$ に対して成り立つため、右辺をゼロにする波動関数が存在しない限り、
$\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta$ はゼロにならないことが分かる。

この不等式はロバートソンの不等式あるいは、ロバートソンの不確定性原理と呼ばれる。
なお、$\alpha,\beta$ が一般座標、一般運動量である場合についてはケナードが先に示しており、ケナードの不等式と呼ばれる。

** 具体例 [#cd9db706]

$x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_x\sigma_p\geqq \frac{\hbar}{2}\end{aligned}$$

$\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_{l_x}\sigma_{l_y}\geqq \frac{\hbar}{2}\left|\langle l_z\rangle\right|\end{aligned}$$

$\left|\langle l_z\rangle\right|=0$ であれば左辺もゼロになりうる。
例えば $\bm l^2=0$ の固有関数は $l_x=l_y=l_z=0$ が確定するが、
不確定性理論とは矛盾しないわけである。
* もう一つの不確定性原理 [#u6bedd3d]

上のようにして導かれる「不確定性原理」は、
''「$x$ と $p_x$ が同時に正確に定まるような量子状態(波動関数)は存在しない」'' という原理である（ロバートソンの不確定性原理）。

ただし、この言葉は微妙に異なる文脈で使われることがあるため注意が必要である。
それは、''「$x$ と $p_x$ とを同時に計測しようとすると、測定誤差の積 $\Delta x\cdot\Delta p_x$ をゼロにできない'' という話である（ハイゼンベルクの不確定性原理）。

以下、これを説明する。

不確定性原理は、量子力学の黎明期に活躍した若き科学者、''ハイゼンベルク'' により提唱された。
その当時、量子力学はまだ多くの科学者に信用されていなかった。

''古典力学'' では、初期状態を与えてニュートン方程式を解けば、
原理的には未来永劫の時間発展を完全に正確に記述することができる（''決定論的世界''）。

これに対して ''量子力学'' では正確な初期条件を与えれば与えるほど、波動関数はすぐに広がってしまい(← 次の単元で学ぶ)、
一定時間経過後の ''物理量は確率的にしか求まらない''。

この点を見比べると、量子力学は古典力学に比べて ''「不正確な劣った理論」'' 
と見えてしまいかねなかった。
また、多くの科学者はニュートン的な世界観、すなわち、
『未来は「初期条件」によって完全に決定されており、「確率」の入り込む余地はない』
とする決定論的世界観を持っていたため、この世界観に反する量子力学は受け容れがたかった。
かの ''アインシュタインが「神はサイコロを振らない」と言った'' のは象徴的である。

そのような価値観・世界観を打ち破るべくハイゼンベルクが指摘したのが物理量測定に現れる不確定性である。
ハイゼンベルクは ''電子に光を当ててその位置と運動量を決定するという仮想的な実験'' について考察した。
''電子の位置を正確に測定しようとすればより短い波長の光を使わなければならない'' が、
その場合 ''光の運動量が大きくなり、位置測定後の電子の運動量が乱され、不正確になってしまう''。
すなわち位置と運動量の両者を同時に、''正確に決定するような測定方法は存在しない'' ことを指摘した。
彼の思考実験は位置測定の精度 $\Delta x$ と運動量に与える撹乱 $\Delta p_x$ の積が 

$$\begin{aligned}\Delta x\Delta p_x\gtrsim h\end{aligned}$$ 

となることを示しており、ハイゼンベルクはこの結果を量子力学的物理量が確率的にしか求まらないことと結びつけて説明した。

そもそも ''計測不可能な「初期状態」が実在すると仮定する'' 古典物理学がおかしいのであって、
''初期状態が計測不可能なことを原理に取り入れた'' 量子力学こそ正しいと考えるべき、
という指摘である。

このような考え方は物理現象の見方を大きく変え、その後の ''量子力学の発展に大変役立った''。

ただし、ここで議論した

+ $x$ と $p_x$ が両方とも正確に定まるような量子状態は存在しないこと（ケナードの不確定性）
+ 粒子の $x$ の計測が必ず $p_x$ に影響を与え、誤差を生んでしまうこと（ハイゼンベルクの不確定性）

の２つは本来区別して考えなければいけない問題であるにもかかわらず、
ハイゼンベルク以来長い間この２者は混同されがちであった。

名古屋大学の&ruby(おざわまさなお){小澤正直};は2003年にこの点を明確に指摘し、
2012年には東京大学の&ruby(はせがわゆうじ){長谷川祐司};らと共にハイゼンベルクの思考実験の限界を下回る計測が可能であることを実験的に証明した。

参考文献として、谷村省吾先生が物理科学雑誌『[[パリティ 2016年2月号>http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/magazine/parity-back/parity2016/2016_02/1602_cont.html]]』て執筆されたコラム「メイドインジャパン物理用語：小澤の不等式」および、これに伴いWeb上に公開された同じく [[谷村省吾先生のノート>http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html]]、あるいは 同じく谷村先生の [[2023年 栄中日文化センター講座 の資料>https://www.phys.cs.i.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/NobelPhys2022/Tanimura-Chunichi-Lecture-3.pdf]] を挙げる。興味があれば参照すると良い。&qr(http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html);


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* 質問・コメント [#s1c0783f]

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* 目次 [#k681cc07]

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&katex();

* 同時固有関数 [#hb461116]

これまでことある毎に量子力学においては観測値は「確率的にしか決まらない」と話してきた。
具体的には、波動関数 $\varphi$ が物理量の固有関数 $\{\varphi_{\lambda_i}\}$ により

$$\begin{aligned}
\varphi=\sum_i c_i\varphi_{\lambda_i}
\end{aligned}$$

のように展開できるとき、この状態に対する測定値が固有値 $\lambda_i$ を取る確率は

$$\begin{aligned}|c_i|^2\end{aligned}$$

となる。

ただしこれには例外があって、その状態が「物理量演算子の固有関数」 そのものとなっている場合については物理量が ''確定値'' を取るのであった。

したがって、もし波動関数 $\varphi$ が物理量 $\hat\alpha$ と $\hat\beta$ 
の「同時固有関数」（両方の固有関数）であれば、その状態に対して物理量 
$\alpha,\beta$ はどちらも確定値を取ることになる。

>例：~
運動量の固有関数は、完全に自由な電子に対するハミルトニアンの固有関数でもあるから、
$\bm p=\hbar \bm k,\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ は同時に確定値を取る。

このとき $\hat\alpha\varphi=\lambda_\alpha\varphi$、$\hat\beta\varphi=\lambda_\beta\varphi$ とすれば

$$\begin{aligned}\hat\alpha\hat\beta\varphi=\hat\alpha\lambda_\beta\varphi=\lambda_\alpha\lambda_\beta\varphi\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\hat\beta\hat\alpha\varphi=\hat\beta\lambda_\alpha\varphi=\lambda_\beta\lambda_\alpha\varphi\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi=0\end{aligned}$$

となる。

したがって、
$(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi= 0$ となるような $\varphi$ 
が存在しない $\alpha,\beta$ に対しては、同時固有関数は存在しない。
→ $\alpha,\beta$ の両方が確定値を取る状態は存在しない

（逆に、$\mathrm{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ には 
$\hat\alpha,\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交完全系を常に見つけられる
ことを[[証明可能である>量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ#yd578141]]）

* 位置と運動量 [#b3565353]

　$(x\hat p-\hat px)\varphi=i\hbar\varphi\ne 0$ (($\begin{aligned}(x\hat p-\hat px)\varphi&=\left(x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}x\right)\varphi\\&=-i\hbar\left\{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(x\varphi)\right\}\\&=-i\hbar\left\{\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}-\varphi-\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}\right\}\\&=i\hbar\varphi\end{aligned}$))

であるから、$x$ と $\hat p$ の同時固有関数は存在せず、
両者が同時に確定するような量子状態は存在しない。

これがどういうことか、以下、具体的に見てみよう。

運動量が確定値 $p=p_0$ を取る「運動量の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{p=p_0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip_0 x/\hbar}\end{aligned}$$

だが、このとき

$$\begin{aligned}|\varphi_{p=p_0}(x)|^2=1/2\pi\end{aligned}$$

であるから、位置に対する確率密度は全空間で一定値を取る。

すなわち $x$ 座標は ''完全に不確定'' になる。
（そのためこの関数は通常の意味では規格化できない）

すなわち、$\sigma_p=0$ であれば $\sigma_x=+\infty$ となる。

逆に $x$ 座標が確定値 $x=x_0$ を取る「位置の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{x=x_0}(x)=\delta(x-x_0)\end{aligned}$$

であるが、これを運動量の固有関数で展開すれば、

$$\begin{aligned}
\varphi_{x=x_0}(x)
=\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} e^{ik(x-x_0)} dk}_{\text{デルタ関数の定義}}
=\int_{-\infty}^\infty \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ikx_0} }_{\text{一様な大きさの係数}}\ \times\underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} }_{運動量\,\hbar k\,の固有関数} dk
\end{aligned}$$

となる。これはあらゆる波数の固有関数を均等な重みで重ね合わせた関数である。

重みが一定 ＝ 確率密度が一定 であるから、
運動量の測定値は ''完全に不確定'' になる。

すなわち、$\sigma_x=0$ であれば $\sigma_p=+\infty$ となる。

２つの演算子が交換しないとき（同時固有関数を持たないとき）、
片方を完全に確定すれば、もう一方は完全に不確定となるのである。

この両極端の場合を除けば $\sigma_x$ も $\sigma_p$ も有限値を取ることになるが、
以下に示すように、このとき必ず

$$\begin{aligned}
\sigma_x\cdot\sigma_{p_x} \ge \frac{\hbar}{2}
\end{aligned}$$

となる。

$\sigma_x$ と $\sigma_{p_x}$ を同時にゼロにすることはできない、
というこの結論は、「不確定性原理」 の一例である。

* 不確定性の導出 [#g5fe668e]

$\hat\alpha,\hat\beta$ をエルミート演算子とする。

ある波動関数 $\varphi$ に対するこれらの期待値 
$\langle\alpha\rangle, \langle\beta\rangle$
を使って２つの演算子
$\Delta \hat\alpha=\hat\alpha-\langle\alpha\rangle$, 
$\Delta \hat\beta=\hat\beta-\langle\beta\rangle$ 
を作れば、これらもエルミートになるから、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)
&\equiv\|(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\|^2
=\Big((\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
\end{aligned}$$

と置けば、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)&=\Big(\Delta\hat\alpha\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\Delta\hat\beta\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&\hspace{3cm}\mathrm{↓}\,\Delta\hat\alpha,\Delta\hat\beta\,\text{のエルミート性を利用}\\
&=\Big(\varphi,\ \Delta\hat\alpha(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\varphi,\ \Delta\hat\beta(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&=\Big(\varphi,\ (\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\hspace{5mm}\text{つまり$\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)^\dagger=\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta\ $}\\
&=\Big\langle(\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\Big\rangle\\
&=\langle\Delta\alpha^2\rangle+i\lambda\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle+\lambda^2\langle\Delta\beta^2\rangle\\
&\geqq 0
\end{aligned}$$
が任意の実数 $\lambda$ に対して成り立つ。すなわち、判別式を取れば負になる。

$$\begin{aligned}
&-\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2-
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle\leqq 0\\
\end{aligned}$$

$\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle$ は純虚数またはゼロになるので（そうでないと $I(\lambda)$ が実数にならない）、((数学的には、$\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha$ が&ruby(わい){歪};エルミートであるために(エルミート共役を取ると符号が反転する $A^\dagger=-A$)、その対角成分が純虚数またはゼロになり、当然そのトレースも純虚数またはゼロになる))

$$\begin{aligned}
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle &\geqq -
\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2 \\ &=
|\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle|^2
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta=\sqrt{\langle\Delta\alpha^2\rangle}\sqrt{\langle\Delta\beta^2\rangle}\geqq \left|\frac{\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle}{2}\right|
\end{aligned}$$

さらに、

$$\begin{aligned}
\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha&=
(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)(\hat\beta-\langle\beta\rangle)-
(\hat\beta-\langle\beta\rangle)(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)\\
&=\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha
\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta\geqq \left|\frac{\langle\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha\rangle}{2}\right|\end{aligned}$$

この式は任意の $\varphi$ に対して成り立つため、右辺をゼロにする波動関数が存在しない限り、
$\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta$ はゼロにならないことが分かる。

この不等式はロバートソンの不等式あるいは、ロバートソンの不確定性原理と呼ばれる。
なお、$\alpha,\beta$ が一般座標、一般運動量である場合についてはケナードが先に示しており、ケナードの不等式と呼ばれる。

** 具体例 [#cd9db706]

$x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_x\sigma_p\geqq \frac{\hbar}{2}\end{aligned}$$

$\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_{l_x}\sigma_{l_y}\geqq \frac{\hbar}{2}\left|\langle l_z\rangle\right|\end{aligned}$$

$\left|\langle l_z\rangle\right|=0$ であれば左辺もゼロになりうる。
例えば $\bm l^2=0$ の固有関数は $l_x=l_y=l_z=0$ が確定するが、
不確定性理論とは矛盾しないわけである。
* もう一つの不確定性原理 [#u6bedd3d]

上のようにして導かれる「不確定性原理」は、
''「$x$ と $p_x$ が同時に正確に定まるような量子状態(波動関数)は存在しない」'' という原理である（ロバートソンの不確定性原理）。

ただし、この言葉は微妙に異なる文脈で使われることがあるため注意が必要である。
それは、''「$x$ と $p_x$ とを同時に計測しようとすると、測定誤差の積 $\Delta x\cdot\Delta p_x$ をゼロにできない'' という話である（ハイゼンベルクの不確定性原理）。

以下、これを説明する。

不確定性原理は、量子力学の黎明期に活躍した若き科学者、''ハイゼンベルク'' により提唱された。
その当時、量子力学はまだ多くの科学者に信用されていなかった。

''古典力学'' では、初期状態を与えてニュートン方程式を解けば、
原理的には未来永劫の時間発展を完全に正確に記述することができる（''決定論的世界''）。

これに対して ''量子力学'' では正確な初期条件を与えれば与えるほど、波動関数はすぐに広がってしまい(← 次の単元で学ぶ)、
一定時間経過後の ''物理量は確率的にしか求まらない''。

この点を見比べると、量子力学は古典力学に比べて ''「不正確な劣った理論」'' 
と見えてしまいかねなかった。
また、多くの科学者はニュートン的な世界観、すなわち、
『未来は「初期条件」によって完全に決定されており、「確率」の入り込む余地はない』
とする決定論的世界観を持っていたため、この世界観に反する量子力学は受け容れがたかった。
かの ''アインシュタインが「神はサイコロを振らない」と言った'' のは象徴的である。

そのような価値観・世界観を打ち破るべくハイゼンベルクが指摘したのが物理量測定に現れる不確定性である。
ハイゼンベルクは ''電子に光を当ててその位置と運動量を決定するという仮想的な実験'' について考察した。
''電子の位置を正確に測定しようとすればより短い波長の光を使わなければならない'' が、
その場合 ''光の運動量が大きくなり、位置測定後の電子の運動量が乱され、不正確になってしまう''。
すなわち位置と運動量の両者を同時に、''正確に決定するような測定方法は存在しない'' ことを指摘した。
彼の思考実験は位置測定の精度 $\Delta x$ と運動量に与える撹乱 $\Delta p_x$ の積が 

$$\begin{aligned}\Delta x\Delta p_x\gtrsim h\end{aligned}$$ 

となることを示しており、ハイゼンベルクはこの結果を量子力学的物理量が確率的にしか求まらないことと結びつけて説明した。

そもそも ''計測不可能な「初期状態」が実在すると仮定する'' 古典物理学がおかしいのであって、
''初期状態が計測不可能なことを原理に取り入れた'' 量子力学こそ正しいと考えるべき、
という指摘である。

このような考え方は物理現象の見方を大きく変え、その後の ''量子力学の発展に大変役立った''。

ただし、ここで議論した

+ $x$ と $p_x$ が両方とも正確に定まるような量子状態は存在しないこと（ケナードの不確定性）
+ 粒子の $x$ の計測が必ず $p_x$ に影響を与え、誤差を生んでしまうこと（ハイゼンベルクの不確定性）

の２つは本来区別して考えなければいけない問題であるにもかかわらず、
ハイゼンベルク以来長い間この２者は混同されがちであった。

名古屋大学の&ruby(おざわまさなお){小澤正直};は2003年にこの点を明確に指摘し、
2012年には東京大学の&ruby(はせがわゆうじ){長谷川祐司};らと共にハイゼンベルクの思考実験の限界を下回る計測が可能であることを実験的に証明した。

参考文献として、谷村省吾先生が物理科学雑誌『[[パリティ 2016年2月号>http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/magazine/parity-back/parity2016/2016_02/1602_cont.html]]』て執筆されたコラム「メイドインジャパン物理用語：小澤の不等式」および、これに伴いWeb上に公開された同じく [[谷村省吾先生のノート>http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html]]、あるいは 同じく谷村先生の [[2023年 栄中日文化センター講座 の資料>https://www.phys.cs.i.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/NobelPhys2022/Tanimura-Chunichi-Lecture-3.pdf]] を挙げる。興味があれば参照すると良い。&qr(http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html);


~
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* 質問・コメント [#s1c0783f]

#article_kcaptcha
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* 目次 [#k681cc07]

#contents
&katex();

* 同時固有関数 [#hb461116]

これまでことある毎に量子力学においては観測値は「確率的にしか決まらない」と話してきた。
具体的には、波動関数 $\varphi$ が物理量の固有関数 $\{\varphi_{\lambda_i}\}$ により

$$\begin{aligned}
\varphi=\sum_i c_i\varphi_{\lambda_i}
\end{aligned}$$

のように展開できるとき、この状態に対する測定値が固有値 $\lambda_i$ を取る確率は

$$\begin{aligned}|c_i|^2\end{aligned}$$

となる。

ただしこれには例外があって、その状態が「物理量演算子の固有関数」 そのものとなっている場合については物理量が ''確定値'' を取るのであった。

したがって、もし波動関数 $\varphi$ が物理量 $\hat\alpha$ と $\hat\beta$ 
の「同時固有関数」（両方の固有関数）であれば、その状態に対して物理量 
$\alpha,\beta$ はどちらも確定値を取ることになる。

>例：~
運動量の固有関数は、完全に自由な電子に対するハミルトニアンの固有関数でもあるから、
$\bm p=\hbar \bm k,\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ は同時に確定値を取る。

このとき $\hat\alpha\varphi=\lambda_\alpha\varphi$、$\hat\beta\varphi=\lambda_\beta\varphi$ とすれば

$$\begin{aligned}\hat\alpha\hat\beta\varphi=\hat\alpha\lambda_\beta\varphi=\lambda_\alpha\lambda_\beta\varphi\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\hat\beta\hat\alpha\varphi=\hat\beta\lambda_\alpha\varphi=\lambda_\beta\lambda_\alpha\varphi\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi=0\end{aligned}$$

となる。

したがって、
$(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi= 0$ となるような $\varphi$ 
が存在しない $\alpha,\beta$ に対しては、同時固有関数は存在しない。
→ $\alpha,\beta$ の両方が確定値を取る状態は存在しない

（逆に、$\mathrm{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ には 
$\hat\alpha,\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交完全系を常に見つけられる
ことを[[証明可能である>量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ#yd578141]]）

* 位置と運動量 [#b3565353]

　$(x\hat p-\hat px)\varphi=i\hbar\varphi\ne 0$ (($\begin{aligned}(x\hat p-\hat px)\varphi&=\left(x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}x\right)\varphi\\&=-i\hbar\left\{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(x\varphi)\right\}\\&=-i\hbar\left\{\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}-\varphi-\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}\right\}\\&=i\hbar\varphi\end{aligned}$))

であるから、$x$ と $\hat p$ の同時固有関数は存在せず、
両者が同時に確定するような量子状態は存在しない。

これがどういうことか、以下、具体的に見てみよう。

運動量が確定値 $p=p_0$ を取る「運動量の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{p=p_0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip_0 x/\hbar}\end{aligned}$$

だが、このとき

$$\begin{aligned}|\varphi_{p=p_0}(x)|^2=1/2\pi\end{aligned}$$

であるから、位置に対する確率密度は全空間で一定値を取る。

すなわち $x$ 座標は ''完全に不確定'' になる。
（そのためこの関数は通常の意味では規格化できない）

すなわち、$\sigma_p=0$ であれば $\sigma_x=+\infty$ となる。

逆に $x$ 座標が確定値 $x=x_0$ を取る「位置の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{x=x_0}(x)=\delta(x-x_0)\end{aligned}$$

であるが、これを運動量の固有関数で展開すれば、

$$\begin{aligned}
\varphi_{x=x_0}(x)
=\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} e^{ik(x-x_0)} dk}_{\text{デルタ関数の定義}}
=\int_{-\infty}^\infty \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ikx_0} }_{\text{一様な大きさの係数}}\ \times\underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} }_{運動量\,\hbar k\,の固有関数} dk
\end{aligned}$$

となる。これはあらゆる波数の固有関数を均等な重みで重ね合わせた関数である。

重みが一定 ＝ 確率密度が一定 であるから、
運動量の測定値は ''完全に不確定'' になる。

すなわち、$\sigma_x=0$ であれば $\sigma_p=+\infty$ となる。

２つの演算子が交換しないとき（同時固有関数を持たないとき）、
片方を完全に確定すれば、もう一方は完全に不確定となるのである。

この両極端の場合を除けば $\sigma_x$ も $\sigma_p$ も有限値を取ることになるが、
以下に示すように、このとき必ず

$$\begin{aligned}
\sigma_x\cdot\sigma_{p_x} \ge \frac{\hbar}{2}
\end{aligned}$$

となる。

$\sigma_x$ と $\sigma_{p_x}$ を同時にゼロにすることはできない、
というこの結論は、「不確定性原理」 の一例である。

* 不確定性の導出 [#g5fe668e]

$\hat\alpha,\hat\beta$ をエルミート演算子とする。

ある波動関数 $\varphi$ に対するこれらの期待値 
$\langle\alpha\rangle, \langle\beta\rangle$
を使って２つの演算子
$\Delta \hat\alpha=\hat\alpha-\langle\alpha\rangle$, 
$\Delta \hat\beta=\hat\beta-\langle\beta\rangle$ 
を作れば、これらもエルミートになるから、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)
&\equiv\|(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\|^2
=\Big((\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
\end{aligned}$$

と置けば、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)&=\Big(\Delta\hat\alpha\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\Delta\hat\beta\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&\hspace{3cm}\mathrm{↓}\,\Delta\hat\alpha,\Delta\hat\beta\,\text{のエルミート性を利用}\\
&=\Big(\varphi,\ \Delta\hat\alpha(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\varphi,\ \Delta\hat\beta(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&=\Big(\varphi,\ (\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\hspace{5mm}\text{つまり$\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)^\dagger=\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta\ $}\\
&=\Big\langle(\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\Big\rangle\\
&=\langle\Delta\alpha^2\rangle+i\lambda\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle+\lambda^2\langle\Delta\beta^2\rangle\\
&\geqq 0
\end{aligned}$$
が任意の実数 $\lambda$ に対して成り立つ。すなわち、判別式を取れば負になる。

$$\begin{aligned}
&-\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2-
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle\leqq 0\\
\end{aligned}$$

$\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle$ は純虚数またはゼロになるので（そうでないと $I(\lambda)$ が実数にならない）、((数学的には、$\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha$ が&ruby(わい){歪};エルミートであるために(エルミート共役を取ると符号が反転する $A^\dagger=-A$)、その対角成分が純虚数またはゼロになり、当然そのトレースも純虚数またはゼロになる))

$$\begin{aligned}
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle &\geqq -
\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2 \\ &=
|\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle|^2
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta=\sqrt{\langle\Delta\alpha^2\rangle}\sqrt{\langle\Delta\beta^2\rangle}\geqq \left|\frac{\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle}{2}\right|
\end{aligned}$$

さらに、

$$\begin{aligned}
\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha&=
(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)(\hat\beta-\langle\beta\rangle)-
(\hat\beta-\langle\beta\rangle)(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)\\
&=\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha
\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta\geqq \left|\frac{\langle\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha\rangle}{2}\right|\end{aligned}$$

この式は任意の $\varphi$ に対して成り立つため、右辺をゼロにする波動関数が存在しない限り、
$\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta$ はゼロにならないことが分かる。

この不等式はロバートソンの不等式あるいは、ロバートソンの不確定性原理と呼ばれる。
なお、$\alpha,\beta$ が一般座標、一般運動量である場合についてはケナードが先に示しており、ケナードの不等式と呼ばれる。

** 具体例 [#cd9db706]

$x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_x\sigma_p\geqq \frac{\hbar}{2}\end{aligned}$$

$\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_{l_x}\sigma_{l_y}\geqq \frac{\hbar}{2}\left|\langle l_z\rangle\right|\end{aligned}$$

$\left|\langle l_z\rangle\right|=0$ であれば左辺もゼロになりうる。
例えば $\bm l^2=0$ の固有関数は $l_x=l_y=l_z=0$ が確定するが、
不確定性理論とは矛盾しないわけである。
* もう一つの不確定性原理 [#u6bedd3d]

上のようにして導かれる「不確定性原理」は、
''「$x$ と $p_x$ が同時に正確に定まるような量子状態(波動関数)は存在しない」'' という原理である（ロバートソンの不確定性原理）。

ただし、この言葉は微妙に異なる文脈で使われることがあるため注意が必要である。
それは、''「$x$ と $p_x$ とを同時に計測しようとすると、測定誤差の積 $\Delta x\cdot\Delta p_x$ をゼロにできない'' という話である（ハイゼンベルクの不確定性原理）。

以下、これを説明する。

不確定性原理は、量子力学の黎明期に活躍した若き科学者、''ハイゼンベルク'' により提唱された。
その当時、量子力学はまだ多くの科学者に信用されていなかった。

''古典力学'' では、初期状態を与えてニュートン方程式を解けば、
原理的には未来永劫の時間発展を完全に正確に記述することができる（''決定論的世界''）。

これに対して ''量子力学'' では正確な初期条件を与えれば与えるほど、波動関数はすぐに広がってしまい(← 次の単元で学ぶ)、
一定時間経過後の ''物理量は確率的にしか求まらない''。

この点を見比べると、量子力学は古典力学に比べて ''「不正確な劣った理論」'' 
と見えてしまいかねなかった。
また、多くの科学者はニュートン的な世界観、すなわち、
『未来は「初期条件」によって完全に決定されており、「確率」の入り込む余地はない』
とする決定論的世界観を持っていたため、この世界観に反する量子力学は受け容れがたかった。
かの ''アインシュタインが「神はサイコロを振らない」と言った'' のは象徴的である。

そのような価値観・世界観を打ち破るべくハイゼンベルクが指摘したのが物理量測定に現れる不確定性である。
ハイゼンベルクは ''電子に光を当ててその位置と運動量を決定するという仮想的な実験'' について考察した。
''電子の位置を正確に測定しようとすればより短い波長の光を使わなければならない'' が、
その場合 ''光の運動量が大きくなり、位置測定後の電子の運動量が乱され、不正確になってしまう''。
すなわち位置と運動量の両者を同時に、''正確に決定するような測定方法は存在しない'' ことを指摘した。
彼の思考実験は位置測定の精度 $\Delta x$ と運動量に与える撹乱 $\Delta p_x$ の積が 

$$\begin{aligned}\Delta x\Delta p_x\gtrsim h\end{aligned}$$ 

となることを示しており、ハイゼンベルクはこの結果を量子力学的物理量が確率的にしか求まらないことと結びつけて説明した。

そもそも ''計測不可能な「初期状態」が実在すると仮定する'' 古典物理学がおかしいのであって、
''初期状態が計測不可能なことを原理に取り入れた'' 量子力学こそ正しいと考えるべき、
という指摘である。

このような考え方は物理現象の見方を大きく変え、その後の ''量子力学の発展に大変役立った''。

ただし、ここで議論した

+ $x$ と $p_x$ が両方とも正確に定まるような量子状態は存在しないこと（ケナードの不確定性）
+ 粒子の $x$ の計測が必ず $p_x$ に影響を与え、誤差を生んでしまうこと（ハイゼンベルクの不確定性）

の２つは本来区別して考えなければいけない問題であるにもかかわらず、
ハイゼンベルク以来長い間この２者は混同されがちであった。

名古屋大学の&ruby(おざわまさなお){小澤正直};は2003年にこの点を明確に指摘し、
2012年には東京大学の&ruby(はせがわゆうじ){長谷川祐司};らと共にハイゼンベルクの思考実験の限界を下回る計測が可能であることを実験的に証明した。

参考文献として、谷村省吾先生が物理科学雑誌『[[パリティ 2016年2月号>http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/magazine/parity-back/parity2016/2016_02/1602_cont.html]]』て執筆されたコラム「メイドインジャパン物理用語：小澤の不等式」および、これに伴いWeb上に公開された同じく [[谷村省吾先生のノート>http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html]]、あるいは 同じく谷村先生の [[2023年 栄中日文化センター講座 の資料>https://www.phys.cs.i.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/NobelPhys2022/Tanimura-Chunichi-Lecture-3.pdf]] を挙げる。興味があれば参照すると良い。&qr(http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html);


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* 目次 [#k681cc07]

#contents
&katex();

* 同時固有関数 [#hb461116]

これまでことある毎に量子力学においては観測値は「確率的にしか決まらない」と話してきた。
具体的には、波動関数 $\varphi$ が物理量の固有関数 $\{\varphi_{\lambda_i}\}$ により

$$\begin{aligned}
\varphi=\sum_i c_i\varphi_{\lambda_i}
\end{aligned}$$

のように展開できるとき、この状態に対する測定値が固有値 $\lambda_i$ を取る確率は

$$\begin{aligned}|c_i|^2\end{aligned}$$

となる。

ただしこれには例外があって、その状態が「物理量演算子の固有関数」 そのものとなっている場合については物理量が ''確定値'' を取るのであった。

したがって、もし波動関数 $\varphi$ が物理量 $\hat\alpha$ と $\hat\beta$ 
の「同時固有関数」（両方の固有関数）であれば、その状態に対して物理量 
$\alpha,\beta$ はどちらも確定値を取ることになる。

>例：~
運動量の固有関数は、完全に自由な電子に対するハミルトニアンの固有関数でもあるから、
$\bm p=\hbar \bm k,\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ は同時に確定値を取る。

このとき $\hat\alpha\varphi=\lambda_\alpha\varphi$、$\hat\beta\varphi=\lambda_\beta\varphi$ とすれば

$$\begin{aligned}\hat\alpha\hat\beta\varphi=\hat\alpha\lambda_\beta\varphi=\lambda_\alpha\lambda_\beta\varphi\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\hat\beta\hat\alpha\varphi=\hat\beta\lambda_\alpha\varphi=\lambda_\beta\lambda_\alpha\varphi\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi=0\end{aligned}$$

となる。

したがって、
$(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\varphi= 0$ となるような $\varphi$ 
が存在しない $\alpha,\beta$ に対しては、同時固有関数は存在しない。
→ $\alpha,\beta$ の両方が確定値を取る状態は存在しない

（逆に、$\mathrm{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ には 
$\hat\alpha,\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交完全系を常に見つけられる
ことを[[証明可能である>量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ#yd578141]]）

* 位置と運動量 [#b3565353]

　$(x\hat p-\hat px)\varphi=i\hbar\varphi\ne 0$ (($\begin{aligned}(x\hat p-\hat px)\varphi&=\left(x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}x\right)\varphi\\&=-i\hbar\left\{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(x\varphi)\right\}\\&=-i\hbar\left\{\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}-\varphi-\cancel{x\frac{\partial\varphi}{\partial x}}\right\}\\&=i\hbar\varphi\end{aligned}$))

であるから、$x$ と $\hat p$ の同時固有関数は存在せず、
両者が同時に確定するような量子状態は存在しない。

これがどういうことか、以下、具体的に見てみよう。

運動量が確定値 $p=p_0$ を取る「運動量の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{p=p_0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip_0 x/\hbar}\end{aligned}$$

だが、このとき

$$\begin{aligned}|\varphi_{p=p_0}(x)|^2=1/2\pi\end{aligned}$$

であるから、位置に対する確率密度は全空間で一定値を取る。

すなわち $x$ 座標は ''完全に不確定'' になる。
（そのためこの関数は通常の意味では規格化できない）

すなわち、$\sigma_p=0$ であれば $\sigma_x=+\infty$ となる。

逆に $x$ 座標が確定値 $x=x_0$ を取る「位置の固有状態」 は、

$$\begin{aligned}\varphi_{x=x_0}(x)=\delta(x-x_0)\end{aligned}$$

であるが、これを運動量の固有関数で展開すれば、

$$\begin{aligned}
\varphi_{x=x_0}(x)
=\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} e^{ik(x-x_0)} dk}_{\text{デルタ関数の定義}}
=\int_{-\infty}^\infty \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ikx_0} }_{\text{一様な大きさの係数}}\ \times\underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} }_{運動量\,\hbar k\,の固有関数} dk
\end{aligned}$$

となる。これはあらゆる波数の固有関数を均等な重みで重ね合わせた関数である。

重みが一定 ＝ 確率密度が一定 であるから、
運動量の測定値は ''完全に不確定'' になる。

すなわち、$\sigma_x=0$ であれば $\sigma_p=+\infty$ となる。

２つの演算子が交換しないとき（同時固有関数を持たないとき）、
片方を完全に確定すれば、もう一方は完全に不確定となるのである。

この両極端の場合を除けば $\sigma_x$ も $\sigma_p$ も有限値を取ることになるが、
以下に示すように、このとき必ず

$$\begin{aligned}
\sigma_x\cdot\sigma_{p_x} \ge \frac{\hbar}{2}
\end{aligned}$$

となる。

$\sigma_x$ と $\sigma_{p_x}$ を同時にゼロにすることはできない、
というこの結論は、「不確定性原理」 の一例である。

* 不確定性の導出 [#g5fe668e]

$\hat\alpha,\hat\beta$ をエルミート演算子とする。

ある波動関数 $\varphi$ に対するこれらの期待値 
$\langle\alpha\rangle, \langle\beta\rangle$
を使って２つの演算子
$\Delta \hat\alpha=\hat\alpha-\langle\alpha\rangle$, 
$\Delta \hat\beta=\hat\beta-\langle\beta\rangle$ 
を作れば、これらもエルミートになるから、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)
&\equiv\|(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\|^2
=\Big((\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
\end{aligned}$$

と置けば、

$$\begin{aligned}
I(\lambda)&=\Big(\Delta\hat\alpha\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\Delta\hat\beta\varphi,\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&\hspace{3cm}\mathrm{↓}\,\Delta\hat\alpha,\Delta\hat\beta\,\text{のエルミート性を利用}\\
&=\Big(\varphi,\ \Delta\hat\alpha(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)-i\lambda\Big(\varphi,\ \Delta\hat\beta(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\\
&=\Big(\varphi,\ (\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\varphi\Big)\hspace{5mm}\text{つまり$\ (\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)^\dagger=\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta\ $}\\
&=\Big\langle(\Delta\hat\alpha-i\lambda\Delta\hat\beta)(\Delta\hat\alpha+i\lambda\Delta\hat\beta)\Big\rangle\\
&=\langle\Delta\alpha^2\rangle+i\lambda\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle+\lambda^2\langle\Delta\beta^2\rangle\\
&\geqq 0
\end{aligned}$$
が任意の実数 $\lambda$ に対して成り立つ。すなわち、判別式を取れば負になる。

$$\begin{aligned}
&-\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2-
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle\leqq 0\\
\end{aligned}$$

$\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle$ は純虚数またはゼロになるので（そうでないと $I(\lambda)$ が実数にならない）、((数学的には、$\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha$ が&ruby(わい){歪};エルミートであるために(エルミート共役を取ると符号が反転する $A^\dagger=-A$)、その対角成分が純虚数またはゼロになり、当然そのトレースも純虚数またはゼロになる))

$$\begin{aligned}
4\langle\Delta\alpha^2\rangle\langle\Delta\beta^2\rangle &\geqq -
\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle^2 \\ &=
|\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle|^2
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta=\sqrt{\langle\Delta\alpha^2\rangle}\sqrt{\langle\Delta\beta^2\rangle}\geqq \left|\frac{\langle\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha\rangle}{2}\right|
\end{aligned}$$

さらに、

$$\begin{aligned}
\Delta\hat\alpha\Delta\hat\beta-\Delta\hat\beta\Delta\hat\alpha&=
(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)(\hat\beta-\langle\beta\rangle)-
(\hat\beta-\langle\beta\rangle)(\hat\alpha-\langle\alpha\rangle)\\
&=\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha
\end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned}\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta\geqq \left|\frac{\langle\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha\rangle}{2}\right|\end{aligned}$$

この式は任意の $\varphi$ に対して成り立つため、右辺をゼロにする波動関数が存在しない限り、
$\sigma_\alpha\cdot\sigma_\beta$ はゼロにならないことが分かる。

この不等式はロバートソンの不等式あるいは、ロバートソンの不確定性原理と呼ばれる。
なお、$\alpha,\beta$ が一般座標、一般運動量である場合についてはケナードが先に示しており、ケナードの不等式と呼ばれる。

** 具体例 [#cd9db706]

$x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_x\sigma_p\geqq \frac{\hbar}{2}\end{aligned}$$

$\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z$ より、

$$\begin{aligned}\sigma_{l_x}\sigma_{l_y}\geqq \frac{\hbar}{2}\left|\langle l_z\rangle\right|\end{aligned}$$

$\left|\langle l_z\rangle\right|=0$ であれば左辺もゼロになりうる。
例えば $\bm l^2=0$ の固有関数は $l_x=l_y=l_z=0$ が確定するが、
不確定性理論とは矛盾しないわけである。
* もう一つの不確定性原理 [#u6bedd3d]

上のようにして導かれる「不確定性原理」は、
''「$x$ と $p_x$ が同時に正確に定まるような量子状態(波動関数)は存在しない」'' という原理である（ロバートソンの不確定性原理）。

ただし、この言葉は微妙に異なる文脈で使われることがあるため注意が必要である。
それは、''「$x$ と $p_x$ とを同時に計測しようとすると、測定誤差の積 $\Delta x\cdot\Delta p_x$ をゼロにできない'' という話である（ハイゼンベルクの不確定性原理）。

以下、これを説明する。

不確定性原理は、量子力学の黎明期に活躍した若き科学者、''ハイゼンベルク'' により提唱された。
その当時、量子力学はまだ多くの科学者に信用されていなかった。

''古典力学'' では、初期状態を与えてニュートン方程式を解けば、
原理的には未来永劫の時間発展を完全に正確に記述することができる（''決定論的世界''）。

これに対して ''量子力学'' では正確な初期条件を与えれば与えるほど、波動関数はすぐに広がってしまい(← 次の単元で学ぶ)、
一定時間経過後の ''物理量は確率的にしか求まらない''。

この点を見比べると、量子力学は古典力学に比べて ''「不正確な劣った理論」'' 
と見えてしまいかねなかった。
また、多くの科学者はニュートン的な世界観、すなわち、
『未来は「初期条件」によって完全に決定されており、「確率」の入り込む余地はない』
とする決定論的世界観を持っていたため、この世界観に反する量子力学は受け容れがたかった。
かの ''アインシュタインが「神はサイコロを振らない」と言った'' のは象徴的である。

そのような価値観・世界観を打ち破るべくハイゼンベルクが指摘したのが物理量測定に現れる不確定性である。
ハイゼンベルクは ''電子に光を当ててその位置と運動量を決定するという仮想的な実験'' について考察した。
''電子の位置を正確に測定しようとすればより短い波長の光を使わなければならない'' が、
その場合 ''光の運動量が大きくなり、位置測定後の電子の運動量が乱され、不正確になってしまう''。
すなわち位置と運動量の両者を同時に、''正確に決定するような測定方法は存在しない'' ことを指摘した。
彼の思考実験は位置測定の精度 $\Delta x$ と運動量に与える撹乱 $\Delta p_x$ の積が 

$$\begin{aligned}\Delta x\Delta p_x\gtrsim h\end{aligned}$$ 

となることを示しており、ハイゼンベルクはこの結果を量子力学的物理量が確率的にしか求まらないことと結びつけて説明した。

そもそも ''計測不可能な「初期状態」が実在すると仮定する'' 古典物理学がおかしいのであって、
''初期状態が計測不可能なことを原理に取り入れた'' 量子力学こそ正しいと考えるべき、
という指摘である。

このような考え方は物理現象の見方を大きく変え、その後の ''量子力学の発展に大変役立った''。

ただし、ここで議論した

+ $x$ と $p_x$ が両方とも正確に定まるような量子状態は存在しないこと（ケナードの不確定性）
+ 粒子の $x$ の計測が必ず $p_x$ に影響を与え、誤差を生んでしまうこと（ハイゼンベルクの不確定性）

の２つは本来区別して考えなければいけない問題であるにもかかわらず、
ハイゼンベルク以来長い間この２者は混同されがちであった。

名古屋大学の&ruby(おざわまさなお){小澤正直};は2003年にこの点を明確に指摘し、
2012年には東京大学の&ruby(はせがわゆうじ){長谷川祐司};らと共にハイゼンベルクの思考実験の限界を下回る計測が可能であることを実験的に証明した。

参考文献として、谷村省吾先生が物理科学雑誌『[[パリティ 2016年2月号>http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/magazine/parity-back/parity2016/2016_02/1602_cont.html]]』て執筆されたコラム「メイドインジャパン物理用語：小澤の不等式」および、これに伴いWeb上に公開された同じく [[谷村省吾先生のノート>http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html]]、あるいは 同じく谷村先生の [[2023年 栄中日文化センター講座 の資料>https://www.phys.cs.i.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/NobelPhys2022/Tanimura-Chunichi-Lecture-3.pdf]] を挙げる。興味があれば参照すると良い。&qr(http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/note.html);


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* 質問・コメント [#s1c0783f]

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**不確定性原理のハイゼンベルク、小澤及びロバートソンの不等式について [#m07fc16c]
>[[マツウラナオキ]] (&timetag(2020-04-07T15:59:44+09:00, 2020-04-08 (水) 00:59:44);)~
~
量子力学は初心者です。教えてください。~
　ハイゼンベルクの不等式　ΔQ×ΔP≧h/４π　　　　①式~
　位置の誤差のゆらぎを±σ（Q)とし、運動量のゆらぎ±σ（P）として~
　①式のΔQにΔQ±σ（Q)をΔPにΔP±σ（P)を代入して~
　（ΔQ±σ（Q)）×（ΔP±σ（P)）≧h/４π　　　　②式~
　②式を数学的に展開してーーこの展開が量子力学で成り立つか分からないが~
　　出来るとすれば~
　ΔQ×ΔP＋ΔQ×（±σ（P)）＋（±σ（Q)）×ΔP~
　　　　　＋（±σ（Q)）×（±σ（P)）≧h/４π　　　③式~
　　③式の左辺の第１項はハイゼンベルクの不等式の項~
　　③式の左辺の第２項と第３項の＋の項は小澤の不等式の項~
　　③式の最後の項の＋の項はロバートソンの不等式の項と同じ。~
　この様に解釈してもよいのですか教えてください。。~
　　それぞれの不等式単独の時にに意味をもつのですか。~
 メールアドレスはnaoki@plum.plala.or.jpです。
　　以上よろしくお願い致します。~
~
~
　~

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**ハイゼンベルクの思考実験を下回る計測が可能であることの証明について [#x80d2669]
>[[田淵 隆明]] (&timetag(2017-10-24T08:05:42+09:00, 2017-10-24 (火) 17:05:42);)~
~
ハイゼンベルクの思考実験を下回る計測が可能であることの証明について、詳細を教えて下さい。~

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- 私自身 内容をよく理解しているわけではないため誤解などないと良いのですが、こちらは http://news.mynavi.jp/news/2013/07/18/262/ などで報道された内容を念頭に置いた記述となっています。 -- [[武内（管理人）]] &new{2017-10-24 (火) 17:22:09};

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**無題 [#i13c7514]
> (&timetag(2017-05-19T00:34:02+09:00, 2017-05-19 (金) 09:34:02);)~
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- いまごろですが、何を指摘されているか理解できたので修正しました。 -- [[武内（管理人）]] &new{2019-06-05 (水) 15:54:54};

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**okdiokdiipgfhhaojijrioajjjsaiiiijweiihrioaffwjfjkkj [#dd02c7da]
>[[休日出勤メテオ]] (2024-09-03 (火) 10:56:06)~
~
oasjdopsajfoappppppppppppppppjfwioeeegjokkhoohfoekhhoesjhjdggkjshfksjhftyiowhkhjw~

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- 人間讃歌は勇気の讃歌人間の素晴らしさは勇気の素晴らしさ -- [[夜のメテオ]] &new{2024-09-03 (火) 10:57:44};
- 人間讃歌は勇気の讃歌人間の素晴らしさは勇気の素晴らしさ -- [[一般通過メテオ]] &new{2024-09-03 (火) 11:00:14};

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**不確定性原理のハイゼンベルク、小澤及びロバートソンの不等式について [#m07fc16c]
>[[マツウラナオキ]] (&timetag(2020-04-07T15:59:44+09:00, 2020-04-08 (水) 00:59:44);)~
~
量子力学は初心者です。教えてください。~
　ハイゼンベルクの不等式　ΔQ×ΔP≧h/４π　　　　①式~
　位置の誤差のゆらぎを±σ（Q)とし、運動量のゆらぎ±σ（P）として~
　①式のΔQにΔQ±σ（Q)をΔPにΔP±σ（P)を代入して~
　（ΔQ±σ（Q)）×（ΔP±σ（P)）≧h/４π　　　　②式~
　②式を数学的に展開してーーこの展開が量子力学で成り立つか分からないが~
　　出来るとすれば~
　ΔQ×ΔP＋ΔQ×（±σ（P)）＋（±σ（Q)）×ΔP~
　　　　　＋（±σ（Q)）×（±σ（P)）≧h/４π　　　③式~
　　③式の左辺の第１項はハイゼンベルクの不等式の項~
　　③式の左辺の第２項と第３項の＋の項は小澤の不等式の項~
　　③式の最後の項の＋の項はロバートソンの不等式の項と同じ。~
　この様に解釈してもよいのですか教えてください。。~
　　それぞれの不等式単独の時にに意味をもつのですか。~
 メールアドレスはnaoki@plum.plala.or.jpです。
　　以上よろしくお願い致します。~
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**ハイゼンベルクの思考実験を下回る計測が可能であることの証明について [#x80d2669]
>[[田淵 隆明]] (&timetag(2017-10-24T08:05:42+09:00, 2017-10-24 (火) 17:05:42);)~
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ハイゼンベルクの思考実験を下回る計測が可能であることの証明について、詳細を教えて下さい。~

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- 私自身 内容をよく理解しているわけではないため誤解などないと良いのですが、こちらは http://news.mynavi.jp/news/2013/07/18/262/ などで報道された内容を念頭に置いた記述となっています。 -- [[武内（管理人）]] &new{2017-10-24 (火) 17:22:09};

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**無題 [#i13c7514]
> (&timetag(2017-05-19T00:34:02+09:00, 2017-05-19 (金) 09:34:02);)~
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- いまごろですが、何を指摘されているか理解できたので修正しました。 -- [[武内（管理人）]] &new{2019-06-05 (水) 15:54:54};

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　位置の誤差のゆらぎを±σ（Q)とし、運動量のゆらぎ±σ（P）として~
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　②式を数学的に展開してーーこの展開が量子力学で成り立つか分からないが~
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　位置の誤差のゆらぎを±σ（Q)とし、運動量のゆらぎ±σ（P）として~
　①式のΔQにΔQ±σ（Q)をΔPにΔP±σ（P)を代入して~
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