線形代数Ｉ/内積

実数ベクトルの標準内積†

, に対して、その標準内積を

として定義する。

実数ベクトルの内積の性質†

標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。

4. かつ ⇔

数学的にはこの４つの性質を持つような任意の演算を「内積」と考えてよい。
すなわち、内積の定義の仕方には標準内積以外にも様々な物がある。

例：$\displaystyle(\bm a,\bm b)=a_1b_1+2a_2b_2+\dots+na_nb_n=\sum_{k=1}^nka_kb_k$ も内積を定義する。

例：すぐには分かりにくいが、２次のベクトルに対して、
を内積とするベクトル空間があってもよい。 （確かめてみよ）

以下の話は上記４つの性質のみを使って定義・証明可能であるから、 「任意の内積」について成立する。

内積の定義されたベクトル空間を「内積空間」あるいは「計量空間」と呼ぶ。

（複素数ベクトルの内積については後に学ぶ）

ベクトルのノルム†

内積の持つ性質 より、任意の に対して

を定義できる。これを のノルム（長さ・大きさ）と呼ぶ。

内積の定義より、 の時のみ となる。

● の書き換えは頻出するので覚えておくように。

シュワルツ (Schwartz) の不等式†

内積の絶対値は常にノルムの積以下である

(証明)

この２次式が の値に依らず負にならないためには、 判別式が負でなければならないから、

両者の正の平方根を取れば、

与式を得る。

ベクトルの為す角†

が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より

したがって、

すなわち

を満たす ただし がただ一つ決まる。

この を の「為す角」と呼ぶ。

• ここまで、内積によりベクトルの長さと角度が定義されることが分かった
  （ベクトルの長さや角度は内積の定義に依存して決まる）

ベクトルの直交†

より、

のときに「内積がゼロ」になる

そこで、 であることを 「 が直交する」と言う。

実は、 の一方または両方がゼロの時もやはり となるが、 は定まらない。

だが、この場合も含めて「直交」を定義する。

　⇔　

すなわち、ゼロベクトル は全てのベクトルに直交する。

正規化ベクトル†

正規ベクトル：　ノルムが１のベクトルのこと

ゼロでない任意のベクトル に対して、 としてノルムを１にする操作を 「正規化」と呼ぶ。

正規直交系†

ベクトル が正規直交系である、とは

• 正規：すべてのベクトルのノルムが１である すなわち
• 直交：ベクトルは互いに直交する

の条件を満たすこと。

• 条件はまとめて と書ける。
• 基本ベクトル は正規直交系である

グラム・シュミットの直交化法†

線形代数Ｉ/要点/（グラム）シュミットの直交化法

直交変換†

任意の $n$ 次元実数ベクトル に対して、

　←　内積の値を保存する

を満たす一次変換 を直交変換と呼ぶ。（なぜ直交？の答えは後ほど）

• 直交変換は を満たす。← ノルムを保存する
  （定義より、ほぼ明らか）
  こちらを直交変換の定義とする場合もある（同値な条件であるため）

練習：

から を導こう。

（証明）

条件より

(左辺)²

(右辺)²

したがって、

Rⁿ にて標準内積を取る場合†

である。

また、

と書けるから、

したがって、 が対称行列 の時に限り、

が成り立つ。

（発展）標準内積が標準と呼ばれるわけ†

コメント†