量子力学/汎関数微分

どうして積分が必要なのか？†

$$F[\phi]\to F[\phi]+\frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi$$

ならとても分かりやすいのに、なぜ

$$F[\phi]\to F[\phi]+\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx$$

のように積分が必要なのか？

これは、$n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ の

$$x_i\to x_i+\delta x_i$$

に対する変化が、

$$f\to f+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i$$

であったことと対応している。$F[\phi]$ では $\sum$ の代りに $\int$ が現れたわけだ。

言ってしまえば、汎関数 $F[\phi]$ は無限個の変数 $\phi(x)$ に依存する超多変数関数なのである。

$F[\phi]$ は $\phi(0)$ にも $\phi(0.1)$ にも $\phi(0.11)$ にも依存している（可能性がある）。というか、定義域に含まれるすべての $x$ に対する $\phi(x)$ に依存している（可能性がある）のだから、それぞれに対する変化量である $(\delta F/\delta\phi)\delta\phi(x)$ をすべて足したものが $\delta F[\delta\phi]$ になる。$x$ が連続なので「すべて足したもの」を計算するのに $\sum$ ではなくて $\int$ が必要になるわけだ。

例１†

$$F[\phi]=\int f\big(x,\phi(x)\big)\ dx$$

のときは単純に、

$$\delta F[\delta \phi]=\int \frac{\partial f}{\partial \phi} \delta\phi(x)\ dx$$

であるから、

$$\frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}$$

となる。これは一般に $x$ の関数である。

めでたしめでたし？

例２†

$x$ による微分を

$$\phi'=\frac{d\phi}{dx}$$

などと書くことにして、

$$F[\phi]=\int f(x,\phi(x),\phi'(x))\ dx$$

すなわち $f$ が $\phi$ の微係数 $\phi'$ にも依存するときには、

$$\delta F[\delta\phi]=\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi'\Big] dx$$

これは部分積分することができて、

$$\delta F[\delta\phi]=\Big[\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi\Big]+\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)'\Big]\delta \phi\ dx$$

積分区間の端で $\frac{\partial f}{\partial \phi'}=0$ または $\delta \phi=0$ となる場合には１項目は消えて、

$$\frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)'$$

と書ける。微分をちゃんと書いておくと、

$$\frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial f}{\partial (d\phi/dx)}\Big)$$

である。この形は解析力学で作用の極小値を考える際などに頻出する。