線形代数II/抽象線形空間/性質

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目次†

線形代数II/抽象線形空間

線形空間の公理から基本的な定理を導く†

以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質を、 公理から導かれる定理として証明できる。

  • ゼロ元はただ１つだけ存在する
  • 逆元はただ１つだけ存在する
  • 引き算を定義できる
  • \bm x-\bm x=\bm 0
  • \bm a+\bm b=\bm a+\bm c → \bm b=\bm c
  • -\bm 0=\bm 0
  • (-(-\bm x))=\bm x
  • (-\bm x)=(-1)\bm x
  • 0\bm x = \bm 0

線形空間の公理†

&\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和の交換則 \\ &\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和の結合則 \\ &\forall \bm x\in V,\exists\bm 0\in V, & \bm x+\bm 0&=\bm x　&&\to ゼロ元の存在\\ &1\in K, \forall \bm x\in V, & 1\bm x&=\bm x &&\to １倍\\ &\forall \bm x\in V,\exists (-\bm x)\in V, & \bm x+(-\bm x)&=\bm 0&&\to 逆元の存在\\ &\forall a,\forall b\in K, \forall \bm x\in V, & (a+b)\bm x&=a\bm x+b\bm x &&\to 分配則(1)\\ &\forall a\in K, \forall \bm x,\forall \bm y\in V, & a(\bm x+\bm y)&=a\bm x+a\bm y &&\to 分配則(2)\\ &\forall a,\forall b\in K,\forall \bm x\in V,&a(b\bm x)&=(ab)\bm x&&\to スカラー倍の結合則

ゼロ元はただ１つだけ存在する†

線形空間の公理には「ゼロ元が存在すること」が書かれているが、「１つしかないこと」は書かれていない。 「ゼロ元が１つしかないこと」は他の公理を組み合わせて証明可能な定理である。

\bm 0,\bm 0' がどちらもゼロ元であったとすると、

\bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & ゼロ元 \bm 0' \\ &=\bm 0'+\bm 0 & & 和の交換則 \\ &=\bm 0' & & ゼロ元 \bm 0

より、 \bm 0=\bm 0' である。

逆元はただ１つだけ存在する†

\bm x の逆元が、 (-\bm x),(-\bm x)' の２つ存在したとすると、

(-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && ゼロ元 \\ &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\} && 逆元 (-\bm x)' \\ &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)' && 和の結合則 \\ &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)' && 和の交換則 \\ &=\bm 0+(-\bm x)' && 逆元 (-\bm x) \\ &=(-\bm x)'+\bm 0 && 和の交換則 \\ &=(-\bm x)' && ゼロ元

引き算†

\bm x,\bm y\in V について、 \bm y の逆元を (-\bm y)\in V として、

\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)\in V

のようにベクトルの引き算を導入する。

当然、 V は引き算について閉じている。

$\bm x-\bm x=\bm 0$†

\bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && 引き算の定義\\ &=\bm 0 && 逆元

$\bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c$†

\bm a+\bm b=\bm a+\bm c の時、両辺から \bm a を引くと、

(左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && 交換則\\ &=\bm b+(\bm a-\bm a) && 結合則\\ &=\bm b+\bm 0 && 引き算の性質\\ &=\bm b && ゼロ元

同様に (右辺)-\bm a=\bm c となって、

\bm b=\bm c を得る。

$-\bm 0=\bm 0$†

\begin{array}{lll} \bm 0+\bm 0=\bm 0 && ゼロ元の定義\\ \bm 0+(-\bm 0)=\bm 0 && 逆元の定義\\ \therefore \bm 0+\bm 0=\bm 0+(-\bm 0) && \\ \bm 0+\bm 0=(-\bm 0)+\bm 0 && 和の交換則\\ \bm0=-\bm 0 && \bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c \end{array}

$(-(-x))=x$†

&(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm 0 && 逆元の定義 \\ &\bm x+(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm x+\bm 0 && 両辺に \bm x を加えた \\ &\bm 0+(-(-\bm x))=\bm x && 逆元の性質とゼロ元の性質 \\ &(-(-\bm x))+\bm 0=\bm x && 交換則 \\ &(-(-\bm x))=\bm x && ゼロ元の性質 \\

$(-x)=(-1)x$†

2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && 2=1+1 (実数の演算)\\ &=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x) && 分配則 \\ &=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x) && １倍 \\ &=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\} && 結合則 \\ &=1\bm x+\bm 0 && 逆元 \\ &=1\bm x && ゼロ元 \\ &=\{2+(-1)\}\bm x && 1=2+(-1) \\ &=2\bm x+(-1)\bm x && 分配則 \\

\therefore (-\bm x) = (-1)\bm x

$0x = 0$†

0\bm x&=\{1+(-1)\}\bm x \hspace{1cm} && 0=1+(-1) (実数の演算)\\ &=\bm x+(-1)\bm x && 分配法則と１倍\\ &=\bm x+(-\bm x) && (-1)\bm x=(-\bm x)\\ &=\bm 0 && 逆元

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