正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する
正規行列†
正規行列 $A$ は $AA^\dagger=A^\dagger A$ を満たす行列
準備：正規行列について $A\bm x=\lambda x$ なら $A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x$†
$A\bm x=\lambda x$ のとき、
$(A-\lambda E)\bm x=\bm 0$ であるから、
$$ \begin{aligned} 0&=\|(A-\lambda E)\bm x\|^2\\ &=\big((A-\lambda E)\bm x,(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)^\dagger(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger A-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A A^\dagger-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\hspace{5mm}\because A^\dagger A=AA^\dagger\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big((A-\lambda E)^\dagger\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\|(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\|^2\\ \end{aligned} $$
すなわち、
$$A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x$$
正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する†
$A$ が正規行列で、$A\bm x=\lambda\bm x,A\bm y=\lambda'\bm y$ のとき、
$$ \begin{aligned} &\big(\bm x,A\bm y\big)=\big(\bm x,\lambda'\bm y\big)=\lambda'\big(\bm x,\bm y\big)\\ &=\big(A^\dagger\bm x,\bm y\big)=\big(\overline\lambda\bm x,\bm y\big)=\lambda\big(\bm x,\bm y\big) \end{aligned} $$
したがって、
$$(\lambda-\lambda')(\bm x,\bm y)=0$$
$\lambda\ne\lambda'$ ならば、$(\bm x,\bm y)=0$