解析力学/ポアソン括弧式
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目次†
ポアソン括弧式†
位置と運動量で表される任意の物理量 $F(q_1,q_2,\dots,q_n,p_1,p_2,\dots,p_n,t)$ について、
$$ \begin{aligned} \dot F &=\sum_{i=1}^n \Big[\frac{\partial F}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial F}{\partial p_i}\dot p_i\Big]+\frac{\partial F}{\partial t}\\ &=\sum_{i=1}^n \Big[\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Big]+\frac{\partial F}{\partial t}\\ \end{aligned} $$
が成り立つ。そこで、
$$ \sum_{i=1}^n \Big[\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Big]=\big\{F,H\big\} $$
と書き、この演算をポアソン括弧式と呼ぶ。
ポアソン括弧式を用いれば任意の物理量 $F$ に対して
$$ \begin{aligned} \dot F=\big\{F,H\big\}+\frac{\partial F}{\partial t} \end{aligned} $$
と書ける。
保存量†
ある物理量 $F$ が陽に時間に依存しておらず（すなわち $\frac{\partial F}{\partial t}=0$）、 なおかつ $\big\{F,H\big\}=0$ を満たせば、その $F$ は運動の保存量である。
特に、$\big\{H,H\big\}=0$ は常に真であるから、$\frac{\partial H}{\partial t}=0$ であるとき $H$ は保存量である。
ポアソン括弧の性質†
$$ \big\{A,B+C\big\}=\big\{A,B\big\}+\big\{A,C\big\} $$
$$ \big\{cA,B\big\}=c\big\{A,B\big\} $$
$$ \big\{B,A\big\}=-\big\{A,B\big\} $$
$$ \big\{AB,C\big\}=A\big\{B,C\big\}+\big\{A,C\big\}B $$
$$ \frac{d}{dt}\big\{A,B\big\}=\big\{\dot A,B\big\}+\big\{A,\dot B\big\} $$
$$ \big\{A,\big\{B,C\big\}\big\}+\big\{B,\big\{C,A\big\}\big\}+\big\{C,\big\{A,B\big\}\big\}=0 $$
$q_1,q_2,\dots,q_n,p_1,p_2,\dots,p_n$ を独立変数として偏微分を取るとき、 $\partial q_i/\partial p_j=0$ そして $\partial p_i/\partial q_j=0$ であり、 $\partial q_i/\partial q_j=\delta_{ij}$ そして $\partial p_i/\partial p_j=\delta_{ij}$ であるから、
$$ \big\{p_i,p_j\big\}=\sum_{k=1}^n\Big[\cancel{\frac{\partial p_i}{\partial q_k}}\frac{\partial p_j}{\partial p_k}-\cancel{\frac{\partial p_j}{\partial q_k}}\frac{\partial p_i}{\partial p_k}\Big]=0 $$
$$ \big\{q_i,q_j\big\}=\sum_{k=1}^n\Big[\frac{\partial q_i}{\partial q_k}\cancel{\frac{\partial q_j}{\partial p_k}}-\frac{\partial q_j}{\partial q_k}\cancel{\frac{\partial q_i}{\partial p_k}}\Big]=0 $$
$$ \big\{q_i,p_j\big\}=\sum_{k=1}^n\Big[\underbrace{\frac{\partial q_i}{\partial q_k}\frac{\partial p_j}{\partial p_k}}_{\delta_{ik}\delta_{jk}}-\cancel{\frac{\partial p_j}{\partial q_k}}\cancel{\frac{\partial q_i}{\partial p_k}}\Big]=\delta_{ij} $$
ポアソン括弧式の共変性†
正準変換の前後で正準方程式が成り立っていることから次式はすぐに導かれる。
$$ \begin{aligned} \dot F &=\big\{F,H\big\}_{q,p}+\frac{\partial F}{\partial t}\\ &=\big\{F,H'\big\}_{Q,P}+\frac{\partial F}{\partial t}\\ \end{aligned} $$
一方 $H'=H$ の場合にはさらに進んで、$q_1,q_2,\dots,q_n,p_1,p_2,\dots,p_n,t$ に対する任意の関数 $A,B$ に対して、
$$ \big\{A,B\big\}_{Q,P}=\big\{A,B\big\}_{q,p} $$
が成り立つことを以下のように示せる。
（未稿）
正準方程式をポアソン括弧式で書く†
$$ \dot q_i=\big\{q_i,H\big\} $$ $$ \dot p_i=\big\{p_i,H\big\} $$
はそれぞれ、
$$ \dot q_i=\sum_{j=1}^n \Big[\underbrace{\frac{\partial q_i}{\partial q_j}}_{\delta_{ij}}\frac{\partial H}{\partial p_j}-\cancel{\frac{\partial q_i}{\partial p_j}}\frac{\partial H}{\partial q_j}\Big]=\frac{\partial H}{\partial p_i} $$ $$ \dot p_i=\sum_{j=1}^n \Big[\cancel{\frac{\partial p_i}{\partial q_j}}\frac{\partial H}{\partial p_j}-\underbrace{\frac{\partial p_i}{\partial p_j}}_{\delta_{ij}}\frac{\partial H}{\partial q_j}\Big]=-\frac{\partial H}{\partial q_i} $$
のように、正準方程式と同値になる。
物理量の生成する変位とネーターの定理†
ハミルトニアン力学におけるネーターの定理 について解説したリンク先の記事はポアソン括弧についての理解を深めるのに役立つはず。
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