(1)
が実数であれば
であることに注意して、
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
任意の
に対してこれが
に等しいためには、
すなわち
でなければならない。
このように入れ替えても結果の変わらない演算子同士は「可換」であると言われる。
(7) (1) の通り実数関数
の部分はエルミートであるから、
がエルミートであることを示せば、(5) により
はエルミートになる。
(1) より定数関数
はエルミートである。
また、
はエルミートであるから (4) より
はエルミートである。
と
は可換であるから
もエルミートである。
(8)
より、
あるいは、