線形代数I/小テスト/2006-05-18 の履歴(No.1)
更新問1†
次の行列の階数 (rank) を求めよ。
(1)[Math Conversion Error]
問2†
次の行列は正則である。逆行列を求めよ。
(1)[Math Conversion Error]
(2)[Math Conversion Error]
解答1†
[Math Conversion Error]
行基本変形により、1行目を使って他の行の1列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
2行目を使って3,4行の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためには
あらかじめ3,4行を3倍しておけばよい。
[Math Conversion Error]
2行目を使って3,4行の2列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
3行目を使って4行目の3列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
対角成分が4つ残ったので、 である。
解答2(1)†
与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。
[Math Conversion Error]
行を入れ替えて左半分を対角行列にする。
[Math Conversion Error]
各行に定数を掛けて左半分を単位行列にする。
[Math Conversion Error]
したがって、逆行列は
[Math Conversion Error]
解答2(2)†
与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。
[Math Conversion Error]
1行目を使って2行目の1列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためにあらかじめ3倍しておく。
[Math Conversion Error]
2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
3行目を使って他の行の3列目をゼロにするため、あらかじめ7を掛けておく。
[Math Conversion Error]
3行目を使って他の行の3列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
4行目を使って他の行の4列目をゼロにするため、あらかじめ5を掛けておく。
[Math Conversion Error]
4行目を使って他の行の4列目をゼロにする。
[Math Conversion Error]
各行に定数を掛けて左半分を単位行列にし、右半分を取り出すとそれが逆行列となる。
[Math Conversion Error]
約分すると、対称行列であることがはっきりする。
[Math Conversion Error]
分母をそろえて外に出しても良い。
[Math Conversion Error]
逆行列の計算で面倒な数値になる場合、中途段階で計算を間違えていないかを検算する方法がある。
を行方向の基本変形を施した途中結果は
となっているはずである。
したがって、途中結果の右半分 に右から元の行列 を掛けて左半分 と等しくなれば、 その時点までの計算は間違っていないと判断できる。