量子力学Ⅰ/群速度と波束の崩壊

更新

前の単元 ＜＜＜ 　　　　　　　　　　　　　量子力学Ⅰ　　　　　　　　　　　　　 ＞＞＞ 次の単元

目次†

位置と運動量の確定した古典粒子に対応する波動関数†

ある位置に局在する、特定の運動量を持つ「波」があるとしたら、それはどのようなものだろうか。

  • x=x_0 に存在する運動量 p=p_0 を持つ古典粒子

に対応するのは、

  • x=x_0 付近に局在する波数 k=k_0=p_0/\hbar を持つ波動関数

となる（波動関数が幅を持たなければ波数を定義できないことに注意せよ）。

このような局在した波動関数を「波束」と呼ぶ。

以下、 x_0=0 として波束を作り、その運動を考えよう。

波数 k=k_0 を持つ平面波の波動関数

　 \varphi_{k_0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik_0x}

は全空間に広がってしまうので(下のグラフ黄土色)、 ガウス関数 e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2} (下のグラフ紫色)を掛けて「波束」(下のグラフ青色)にする。

　 \varphi(x)= \underbrace{\frac{\sqrt{\sqrt{2\pi}}}{\sqrt{\sigma_{x0}}}e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}}_{ガウス関数}\cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik_0x}}_{平面波} =\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}\,e^{ik_0x}

ここでは確率密度分布が標準偏差 \sigma_{x0} の正規化されたガウス関数になるよう係数を設定した。

　 |\varphi(x)|^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}e^{-x^2/2\sigma_{x0}^2}\hspace{3mm}\to\hspace{3mm} \int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2 dx=1

wave-packet-shape.png wave-packet.png

左のグラフでは複素関数 e^{ik_0x} および \varphi(x) については「実部」をプロットした。 右のグラフは位相まで含めた \varphi(x) を x 軸に対してプロットしたもの。 奥行きが実軸、上下が虚軸になっている。原点に近づくに従って中心軸（ゼロ）からの距離 |\varphi(x)| が大きくなり、また遠ざかると小さくなる。その間、位相は一定速度で回転するためこのような渦を巻くようなグラフになる。

波束の波数†

上記の波束は波数 k_0 の正弦波の一部を切り取ったものと見なせるが、 この関数の波数は k_0 であると言って良いだろうか？

\varphi(x) をフーリエ変換すれば、

　 \varphi(k)&=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikx}\varphi(x)dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}e^{-i(k-k_0)x}dx\\

　 \phantom{\varphi(k)} &=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-\{x/2\sigma_{x0}+i\sigma_{x0}(k-k_0)\}^2}\frac{dx}{2\sigma_{x0}}}_{\sqrt \pi}e^{-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2}\\ &=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4}

となり、この \varphi(k) を用いれば \varphi(x) を様々な波数を持つ平面波の重ね合わせとして表せる。（逆フーリエ変換そのもの）

　 \varphi(x)=\int_{-\infty}^\infty \underbrace{\varphi(k)}_{係数}\, \underbrace{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\right)}_{波数kの平面波}dk

上記波動関数の運動量を計測した際に p=\hbar k が得られる確率は係数の絶対値の二乗で与えられる。

　 |\varphi(k)|^2&=\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/2}

p の確率分布は \hbar k_0 を中心に、 \hbar \sigma_{k0}=\hbar/2\sigma_{x0} のガウシアンとなる。

k=k_0 の平面波の一部を切り取って「波束」にしたことにより、 k=k_0 の成分だけでなく、 おおよそ k=k_0\pm\sigma_{k0} の成分を含んでしまったことになる。

この関数に対して、

　 \sigma_{x}\cdot\sigma_{p}=\sigma_{x}\cdot\hbar\sigma_{k}=\hbar/2

が成立し、この波束が不確定性原理で与えられる最小値を与えることが分かる。 このような波束は「最小波束」と呼ばれる。

ここでは波束 \varphi(x) の空間分布をガウス関数としたために最小波束が得られたが、 一般の波束に対しては、 \sigma_{x}\cdot\sigma_{p} は必ず \hbar/2 より大きくなる。

不確定性原理の意味するところは、 k 空間のピーク幅と x 軸上でのピーク幅が反比例の関係を持つという意味である。 空間的に狭い範囲に局在した波束ほど、幅広い範囲の波数の重ね合わせになる。

異なる波数の重ね合わせて波束が生じる理由†

k_0=20 として、 k を 1 ずつ変えながら平面波を加えていくことで、 異なる波数を持つ平面波の重ね合わせで波束が作れることを理解しよう。

LANG: p5js_live
// =============== ここが設定
const gif_url = 'https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?plugin=attach&refer=%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%85%A0%2F%E7%BE%A4%E9%80%9F%E5%BA%A6%E3%81%A8%E6%B3%A2%E6%9D%9F%E3%81%AE%E5%B4%A9%E5%A3%8A&openfile=wavepacket.gif';
const multi = 1;     // スライダーは multi 回ループで最大値になる
const fps = 2;       // 描画頻度 (frame per second)
const maxWidth = 600; // 横幅最大値 
// ================ ここから下は汎用コード

let gif = null;
let frameSlider = null;
let w, h;

p.preload = () => gif = p.loadImage(gif_url);

const draw = () => {
  let index = frameSlider.value();
  gif.setFrame(index % gif.numFrames()); // フレームを選択して
  p.image(gif, 0, 0, w, h);              // 描画
}

p.setup = () => {
  p.frameRate(fps);
  w = Math.min(maxWidth, gif.width);
  h = gif.height * w / gif.width;
  p.createCanvas(w, h + 20);

  frameSlider = p.createSlider(0, gif.numFrames() * multi - 1);
  frameSlider.value(0);
  frameSlider.position(0, h);
  frameSlider.size(w);
  frameSlider.input(draw);
  draw();
}

p.draw = () => {
  if(p.mouseIsPressed) return;
  frameSlider.value((frameSlider.value() + 1) % (gif.numFrames() * multi));
  draw();
}

k_0=20 の成分のみでは単なる正弦波であるが、 k=19, k=21 の成分が加わると、 ３つの異なる波長を持つ正弦波のうなり(・・・)により波にくびれが生じる。 k=18, k=22 などの成分を徐々に加えていくと、 x=2n\pi の付近を除いて振幅が小さくなる様子が分かる。これは、異なる波長を持つ波は原点及び 2\pi の整数倍の点ではそのすべてが強め合うが、そこから離れるに従って互いに打消し合うためである。ここでは k を１ずつ変えながら加えたために 2\pi の整数倍すべてにピークを生じたが、 k を連続的に変えながら加えればピークは原点以外に現れなくなる。こうしてできたのが上記の波束である。

自由な波束の運動†

自由な粒子では、

　 \varepsilon=\frac{p^2}{2m} 　に対応して　 \hbar\omega_k=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}

がその分散関係*1 \omega と k の関係を与えるのであった。

したがって、波数 k の成分が時刻ゼロにおいて

　 \psi_k(x,t=0)=\varphi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}

であるとすれば、この成分の位相は

　 \psi_k(x,t)=\varphi_k(x)e^{-i\omega_kt}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\hbar k^2t/2m}

のように回転する。したがって上記最小波束の時間発展は、

　 \psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\omega_kt}}_{\psi_k(x,t)\,=\,\varphi_k(x)e^{-i\omega_kt}}dk\\ &=\dots\\ &=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}(1+i\xi t)}}\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\

となる（→ 計算の詳細）。 ただし、 \xi=\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2} 。

このとき、

　 |\psi(x,t)|^2 &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x}} \exp\left[\frac{-(x-v_0 t)^2}{2\sigma_{x}^2}\right]\\

ただし、

　 \sigma_x=\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}

　 v_0=\hbar k_0/m=p_0/m

であるから、この関数は古典論で期待されるのと等しい速度 p_0/m で進みながら、徐々に幅が広がり、高さがつぶれていく。 初期状態における幅 \sigma_{x0} がせまいほど $\xi$ が大きくなり、速く広がることも注目に値する。

分散と波束の崩壊†

上記の結果より、

  • 波束の中心は古典的に期待される一定速度で移動する
  • 波束の幅は徐々に広がる

なぜ時間と共に波束が広がるのかを理解するために、 \sigma_{x0}=0.7 , \hbar/2m=1 , k_0=5 とした場合の \psi(x,t) の「実部」を 0\le t\le 2 の範囲でプロットした。

　wave-packet.gif　

注目すべきは広がった後の波束において、 後縁部に比べて前縁部の波数が大きい（波長が短い）ことである。

なぜか？

平面波一般に対して

　 e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x-v_\phi t)}

であるから、位相速度 v_\phi は

　 v_\phi=\omega_k/k

と表せる。

ここに自由な電子の分散関係を代入すれば、

　 v_\phi=\frac{\hbar k}{2m}

となって、自由空間の平面波は「波数の大きなものほど早く進む」。 これが波束の形状が変化する理由である。

上で見たように波束は「異なる波数を持つ平面波の重ね合わせ」で構成される。 t=0 の最小波束では、 すべての波数成分の位相が位置 x=0 で揃っていた。 その後、波数の小さなものほど遅く、波数の大きなものほど早く移動した結果、 前縁部がより大きな波数を持つ、幅の広がった波束に変化したのである。

\sigma_{x0} が小さい波束ほど、広い範囲の波数成分を含んでいるため、 初期状態で鋭いパルスほど、速やかに幅が広がる。

このように、異なる波数成分が異なる速度を持つ状況を「分散がある」という。 逆に異なる波数成分がすべて同じ速度を持つ場合を「分散がない」という。 *2プリズムに白色光を入射すると波長ごとに異なる角度で屈折し「分散」する。これは波長により屈折率、すなわちプリズム中での光速が異なることによる。波長ごとに光速が異なることを「分散がある」と呼んだり、 \omega と k との関係を「分散関係」と呼ぶ理由がここにある。

位相速度と群速度†

上で見たとおり波数 k を持つ平面波の位相速度は

　 v_\phi(k)=\frac{\omega_k}{k}=\frac{\hbar k}{2m}=\frac{p_k}{2m}

であり、上で求めた波束の速度 p_{k_0}/m と一致しない。

実は、中心波長 k_0 を持つ波束の速度は位相速度とは異なり、群速度*3波束は異なる波長を持つ波の一群と見なせることを上で見た。その波の一群が全体として持つ速度が群速度である。と呼ばれ、

　 v_G(k)=\left .\frac{\partial\omega_k}{\partial k}\right|_{k_0}=\frac{\partial}{\partial k}\Big(\frac{\hbar k^2}{2m}\Big)=\frac{\hbar k}{m}=\frac{p_k}{m}

となる。（→ 詳しい導出 結果が上記の計算と一致することを確認せよ）

シュレーディンガー方程式に従う自由な粒子に対しては群速度が位相速度の２倍となるのである。

分散がない場合（位相速度が波数によらない場合）、

　 v_\phi =\frac{\omega_k}{k}

が一定であるから、

　 v_G=\frac{\PD \omega_k}{\PD k}=v_\phi

となり位相速度と群速度とは一致する。

このとき、波束の概形が崩れないだけでなく、波束中の搬送波の位相も時間に対して変化しない。

　wave-packet2.gif　

逆に分散がある場合には一般に、位相速度と群速度とは一致せず、また、 波束は時間と共に形が崩れる。

真空中を進む光（電磁波）の分散はゼロであるため波形も位相も保存したまま波束が伝播するが、 物質中では分散がゼロでないため、例えばフェムト秒(10-15 秒)程度の超短光パルスを発すれば、 パルス幅は物質中で徐々に広がることが知られている。（元のパルス幅が小さいほど、広がる速度が速かったことを思い出せ）

位相速度より群速度が速い例†

波数に比例する速度を持つ２つの波が干渉してできるうなりが それぞれの波の位相速度のほぼ２倍の速度の群速度で移動する様子をアニメーションにした。

　 \cos[k_1(x-a k_1 t)]+\cos[k_2(x-a k_2 t)]

groupvelocity.gif


前の単元 ＜＜＜ 　　　　　　　　　　　　　量子力学Ⅰ　　　　　　　　　　　　　 ＞＞＞ 次の単元

質問・コメント†




「平面波の重ね合わせで波束を作る」のMathematicaコード†

Yutaka Maeda ()

コピペで試してみましたがうまく動作しなかったので、以下の様に%114を何かの変数xxxで明示するように変更し、動作することを確認できました。
xxx = Table[・・・
Export["wavepacket.gif", xxx, "GIF"]

  • 失礼しました。%114 のところは続けて実行するのであれば % だけにすれば動くと思います。メモページのコードを修正いたしました。 -- 武内（管理人）

エネルギーと運動量の保存則†

近藤　衛 ()

∂E/∂t =(iℏ³/4m²)[ψ* (∂³ψ/∂x³)－(∂ψ*/∂x)(∂²ψ/∂x²)]=0
∂p/∂t =(ℏ²/2m)[ψ*(∂²ψ/∂x²)－(∂ψ*/∂x)(∂ψ/∂x)] =0
は導けました。有難うございました。

エネルギーと運動量の保存則†

近藤　衛 ()

波束が自由粒子を表すことができれば、エネルギーと運動量の保存則が成り立ち
、mv²/2=一定、mv=一定に相当する関係式が得られるのではないか。どうしたらそれが示せるのか分かりません。運動量を計算したら複素数が出て、行き詰まりました。御教示賜りたいです。

  • エネルギーや運動量の「期待値」の時間変化を考えれば、波束が平面波の重ね合わせで表せることからすぐに時間変化しないことを導けると思います。 -- 武内（管理人）
  • ∂E /∂t =(iℏ３/4m２)[ψ* (∂３ψ/∂x３)－(∂ψ*/∂x)(∂２ψ/∂x２) ]=0 ∂p/∂t =(ℏ２/2m)[ψ*(∂２ψ/∂x２)－(∂ψ*/∂x)(∂ψ/∂x)] =0 -- 近藤　衛

一次元波束の運動†

NAKATO YOSHIHIRO ()

一次元の箱に入った電子を考えます。最初、箱の左半分に波束として存在していたとします（初期条件）。この電子はその後どのように変化するのでしょうか。この問題はどのようにすれば解くことができるのでしょうか。

無題†

()

自由な波束の運動の項目の「この成分の位相は・・・」から始まるψk(x,t)についての最後の式で二つ目のexpの指数の分母でhが抜けているかもしれません。(hは換算プランク定数です)

  • ご指摘ありがとうございます。間違っていた部分を修正いたしました。 -- 武内（管理人）

無題†

kazzy ()

自由な波束の運動の項目の標準偏差求めるところでξ代入するとき2乗が抜けてるかもしれません

  • ご指摘ありがとうございます。間違っていた部分を修正いたしました。 -- 武内（管理人）
*1 \omega と k の関係
*2 プリズムに白色光を入射すると波長ごとに異なる角度で屈折し「分散」する。これは波長により屈折率、すなわちプリズム中での光速が異なることによる。波長ごとに光速が異なることを「分散がある」と呼んだり、 \omega と k との関係を「分散関係」と呼ぶ理由がここにある。
*3 波束は異なる波長を持つ波の一群と見なせることを上で見た。その波の一群が全体として持つ速度が群速度である。
添付ファイル: filegroupvelocity.gif 1729件 [詳細] filewavepacket.gif 2641件 [詳細] filewave-packet.png 2830件 [詳細] filewave-packet-shape.png 2716件 [詳細] filewave-packet2.gif 2959件 [詳細] filewave-packet.gif 3423件 [詳細]
Counter: 79634 (from 2010/06/03), today: 36, yesterday: 25