線形代数Ｉ/教科書演習/１Ａ−２ の履歴(No.1)

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線形代数Ｉ/教科書演習

問

R^2 で、 (a, b) と (c, d) が１次独立であるための 必要十分条件は ad-bc\ne 0 であることを示せ。

解答

まず十分であること、つまり ad-bc\ne 0 であれば１次独立であることを示そう。

このために、

ax+by&=0\\cx+dy=0

の解、&math*1x, y を求める。

a \ne 0 のとき、

x=-(b/a)y ・・・ ①

であり、これを cx+dy=0 に代入することで

-(bc/a)y+dy=0\\(ad-bc)y=0

を得る。 ad-bc\ne 0 よりこれは y=0 を表し、① からすぐに x=0 を得る。

一方、 a=0 のとき、 ad-bc\ne 0 より bc\ne 0 であり、 すなわち c \ne 0 であるから、

x=-(d/c)y ・・・ ②
-(ad/c)y+by=0\\-(ad-bc)y=0

となり、 a \ne 0 のときと同様に x=y=0 を得る。

すなわち、 ad-bc\ne 0 であれば１次独立であることが示された。

次に必要であること、つまり１次独立であれば ad-bc\ne 0 であることを示そう。

*1 x, y
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