線形代数II/抽象線形空間 の履歴(No.1)

「線形代数学」の意味†

１年生の線形代数Ｉにおいて、「線形」の意味を教わった。

関数 が線形とは が成り立つこと

では「代数学」とは何だろうか？

小学生から大学１年生まで、様々な「数」を学んだ。

• 自然数 = 加算・乗算について閉じている
• 整数　 = 減算についても閉じている
• 有理数 = 除算について「ほぼ」閉じている
• 実数　 = 収束する有理数列の極限演算について閉じている
• 複素数 = 関数の求根操作について閉じている

知っての通り であり、これまでの数学では新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大する方向で学んできた。

• 解析学は主に の上（あるいは の上）で 極限や微積分を扱う数学である

代数学は の系列から外れて、
例えば、

乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合

などというように、「何らかの演算」が定義された「数の集合」を定め、 そこに現れる「構造」を研究する学問である。

これから学ぶ「ベクトル」も上で言う「数」の一員である。

代数学的な数の例†

ある「数」の集合 には演算 が定義され、 は について閉じているものとする。
すなわち である。

さらにこの演算が次の性質を持つ時、

1. 結合法則 を満たす
2. ある特別な元（単位元） \math(1\in \mathbb U); が存在して、すべての に対して を満たす
3. すべての に対して逆元 が存在し、 を満たす

このような集合 は代数学において「群」と呼ばれる。

一見すると、 を有理数 、 を通常の乗算 と考えれば 「群の公理」を満たしそうに思えるが、 が逆元を持たないため、 有理数 は乗算 に対して群とはならない。

を有理数 からゼロを除いた集合 、 を通常の乗算 、単位元を とすれば、この集合は群を為す。

また、 を整数 、 を通常の加算 、単位元を と考えると、この場合も上記３つすべての条件を満たし、群を為す。

また、 をゼロ以上の の倍数 、 を通常の加算 、単位元を と考えると、この場合も上記３つすべての条件を満たし、群を為す。