線形代数II/抽象線形空間
の2次以下の実係数多項式の集合
が線形空間の公理を満たすことを確かめよ。
解答例†
であれば、
を用いて
の形に表せる。
さらに
ただし
、
とすると、
1. ベクトル和の交換則
2. ベクトル和の結合則
&math((\bm x+\bm y)+\bm z&=\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}+sx^2+tx+u''\\
&=(sx^2+tx+u)+\big\{(s'x^2+t'x+u')+(sx^2+tx+u'')\big\}=\bm x+(\bm y+\bm z));
3. ゼロ元の存在
と置けば、任意の
に対して
4. スカラーの単位元
に対して、任意の
に対して
5. 逆元の存在
に対して
6. 分配法則(1)
7. 分配法則(2)
8. スカラー倍の結合法則