線形代数II/抽象線形空間/性質 の履歴(No.1)
更新群の公理からいくつか簡単な定理を導く†
ゼロ元はただ1つだけ存在する†
がどちらもゼロ元であったとすると、
&math( \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0') \\
&=\bm 0'+\bm 0 & & (和の交換則) \\ &=\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0)
);
より、 が導かれる。
逆元はただ1つだけ存在する†
の逆元が、 の2つ存在したとすると、
&math( (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && (ゼロ元) \\
&=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\} && (逆元 (-\bm x)') \\ &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)' && (和の結合則) \\ &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)' && (和の交換則) \\ &=\bm 0+(-\bm x)' && (逆元 (-\bm x)) \\ &=(-\bm x)'+\bm 0 && (和の交換則) \\ &=(-\bm x)' && (ゼロ元)
);
引き算†
について、 の逆元を とするとき、
として、ベクトルの引き算を導入できる。
x-x=0†
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