多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオン の履歴(No.1)

１粒子系の量子力学の復習†

量子力学において１粒子の運動は、 粒子の位置を変数とする複素関数（波動関数）が満たす シュレーディンガー方程式により記述された。

粒子の位置：
波動関数：
方程式：

シュレーディンガー方程式は、

　

の形をしているが、これは前期量子論における

　

という関係に対応していた。

ただし、 は古典力学におけるシュレーディンガー方程式に現れる 粒子の運動量 を で置き換えた物である。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が 時刻 に粒子を位置 を見いだす確率となる。

その他の物理量 の期待値 は、 物理量に対応する演算子を として次のように与えられる。

　

２粒子系の量子力学†

２つの電子の位置座表をそれぞれ とする。

２粒子系の波動関数を として、

シュレーディンガー方程式を

　

としたならば、これは１粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっている。

ただし、 は古典力学における２粒子系の方程式に現れる ２つの粒子の運動量 を に置き換えた物となる。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が 時刻 に粒子を位置 に見いだす確率となる。

その他の物理量 の期待値 は、 物理量に対応する演算子を として次のように与えられる。

　

例：

２粒子がクーロン相互作用しているなら、 となるから、

&math( \hat H(\bm r_1,\bm r_2,t)=

• \frac{\hbar^2}{2}\nabla_{r_1}^2-\frac{\hbar^2}{2}\nabla_{r_2}^2
• \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|});

である。

多粒子系の量子力学†

位置座表をそれぞれ として、
波動関数を とすれば良い。