スピントロニクス理論の基礎/9-1A の履歴(No.10)
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目次はこちら >> スピントロニクス理論の基礎
9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (1)†
不純物散乱にスカラー場のポテンシャルを加え電荷密度を求める†
不純物散乱に加えてスカラー場 によるポテンシャルを考える。
は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。
スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。
(9.1)
&math( V_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\ &= e\int d^3r \Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega') \\ &=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega} );
ただし、
(9.2)
&math( \phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t) );
&math( \phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega} );
これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。
(9.3)
&math( \rho(\bm r,t)=\,\stackrel{\textcolor{red}{?}}{+}e\llangle \hat n_H\rrangle = e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle = -ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg] = - ieG^<(\bm r,t,\bm r,t) );
電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思ったのだけれど、 (9.69) でようやく説明があって、ここでは なのだそうだ。
と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、
(9.3A)
&math( &G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2} e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^< );
、
、
と置けば、
(9.3B)
&math( &\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} \textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< );
電場のあるときの lesser Green 関数 G< を不純物散乱の Green 関数 g で表す†
の Fourier 係数を求めるために (8.96) と同様に時間発展を自由+不純物散乱の部分と、 スカラー場による部分とに分けて書き、 深く考えずに同様の変形をしていく。
(8.96')
ここで、 は のみの時の解。
→
→
(8.99')
&math( & i\hbar \frac{\PD U_{V_\phi}}{\PD t} \\&= i\hbar \frac{\PD U_{V_i}^\dagger}{\PD t} U_0^\dagger U + i\hbar U_{V_i}^\dagger \frac{\PD U_0^\dagger}{\PD t} U + i\hbar U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger \frac{\PD U}{\PD t} \\&= i\hbar \left( \frac{V_{iH_0} U_{V_i}}{i\hbar} \right)^\dagger U_0^\dagger U + i\hbar U_{V_i}^\dagger \left( \frac{H_0U_0}{i\hbar} \right)^\dagger U + i\hbar U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger \left( \frac{HU}{i\hbar} \right) \\&=
- U_{V_i}^\dagger V_{iH_0}^\dagger U_0^\dagger U
- U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger H_0^\dagger U
- U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger H U \\&=
- U_{V_i}^\dagger (U_0^\dagger V_i U_0) U_0^\dagger U
- U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger (H-H_0) U \\&=
- U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger V_i U
- U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger (V_i+V_\phi) U \\&= U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger V_\phi U \\&= (U_0 U_{V_i})^\dagger V_\phi (U_i U_i^\dagger) U \\&= U_i^\dagger V_\phi U_i (U_i^\dagger U) \\&= V_{\phi H_i} U_{V_\phi} );
これを用いれば (8.101) と同様に、
(8.101')
&math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') \, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \, \Big\langle
T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')} c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau') c_{H_i}(\bm r,\tau)
\Big\rangle );
ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより
(9.4C)
ではなく
(9.4D)
になってしまっていることに注意が必要。
繰り返しになるが、これは運動エネルギーの項が無視されていることになり、 簡単には見過ごせない差になることが心配される。
(8.105) と同様に、
(9.4E)
&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ );
(8.108) と同様に、
(9.4F)
&math( [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1) );
となるから、
(8.109) と同様に、
(9.4G)
&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{1}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ &=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
- i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') );
(8.111) と同様に、
(9.4H)
&math( &G^<(\bm r,t,\bm r',t')= g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[ g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
- g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') \right] );
(8.117) と同様に( )、
(9.4I)
&math( &G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} );
(8.145) と同様に、
(9.4J)
&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
- g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} \right] );
電場ポテンシャルの取り込み次数で展開する†
(9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、
(9.4K)
&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big]
- g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big] \Bigg] \\&= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
- e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} g^<_{\bm k_2,\omega_2}
- g^<_{\bm k_1,\omega_1} g^a_{\bm k_2,\omega_2} \Big]+\cdots \\&\equiv 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
- e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g_{\bm k_1,\omega_1} g_{\bm k_2,\omega_2} \Big]^<+\cdots );
したがって、
(9.4)
&math( &G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}= 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
- e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^<+\cdots );
電荷密度を の効果の取り込み次数に分割する。
(9.5A)
は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、 (9.4) の第一項 の項に相当する部分である。
の効果の最低次は、 (これって1次じゃなくてゼロ次なのか・・・)
→ このゼロは に関するゼロ次ではなく、 後に見る をまたぐような不純物散乱の効果に対する取り込み次数らしい
→ の高次の効果は始めから考えていない(線形応答の範囲で考える)
(9.5)
&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&=
- i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&=
- i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \frac{1}{N} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< );
図 9.1 の見方は徐々に分かってきたけれど、
上と下のどちらが
なのか、
左と右のどちらが
なのかが分からないので、
セミナーの時に教えてもらう予定。
電場展開の最低次項を評価する†
(9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。
(9.6)
&math( &\Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< = \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
- g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
\\
&=
\Big[
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}})
\Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big)
f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}})\Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big)
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ \Big( f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
- f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
- f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] );
簡略化して表示すると、
(9.6A)
&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+
- f(+) g^r_-g^r_+
- f(-) g^a_-g^a_+ \Big] );
f(ω) に含まれる Ω を展開する†
が よりも十分小さいとして展開する。
(9.6B), (9.7)
&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+
- (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+
- (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+ \Big] \\&= \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
- f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );
したがって、
&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=
- i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
- f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );
g の添え字の q, Ω を展開する(最後には無視する)†
これを具体的に評価するために、Green 関数を の1次までで展開する。
この部分、教科書ではまるっきり飛ばされているのかと思いきや、 (9.33)〜(9.36) あたりで一応解説されていた。
&math( g^r_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}+\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}} );
&math( g^a_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}-\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}} );
&math( g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}} \sim g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\bm q}{2}\cdot\nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\Omega}{2}\cdot\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} );
&math( \nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \nabla_{\bm k}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right) = \frac{\nabla_{\bm k}\varepsilon_{\bm k}}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\nabla_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{2m}k^2-\varepsilon_F\right)}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\frac{\hbar^2}{m}\bm k}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha{}_{\bm k,\omega}^2 );
&math( \frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \frac{\PD}{\PD \omega}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right) = \frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} =
- \hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );
したがって、
&math( g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}} \sim g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\bm q}{2}\cdot\frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 \mp \frac{\Omega}{2}\cdot\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega} {}^2 = g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \left[ \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m}
- \frac{\hbar\Omega}{2} \right] g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 \equiv g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );
すなわち、
&math( \Delta_{\bm q,\Omega} = \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} - \frac{\hbar\Omega}{2} );
これを用いれば、
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) g^r_-g^a_+ = \frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) \Big(g^r_{\bm k,\omega}-\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big) \Big(g^a_{\bm k,\omega}+\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big) \\&= \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N} \sum_{\bm k} \Big[ g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
- \Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}{}^2
- \Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}g^r_{\bm k,\omega}{}^2
- \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots \Big] );
Σg を評価する†
そこで として、
&math( \frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n = \frac{1}{N}\int_{\varepsilon_F}^\infty d\varepsilon \, \nu(\varepsilon) \frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon+i\delta_\varepsilon)^m} \frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon-i\delta_\varepsilon)^n} );
を評価したい。( )
(9.18) と同様の手順を考えると、被積分関数は に 次の に 次の極を持つから、 被積分関数を とすれば、
&math( \frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n = \pi i\Big(\Res_{z=\hbar\omega+i\delta_\varepsilon}h(z)+\Res_{z=\hbar\omega-i\delta_\varepsilon}h(z)\Big) );
ただし、
&math( &\Res_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}h(z) =\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Big((z-\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)^nh(z)\Big) \\&= \frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\frac{(-1)^n\nu(z)}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1} {}_{n-1}C_i \frac{d^{i}}{dz^{i}}\Bigg(\frac{1}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m}\Bigg) \frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1}{}_{n-1}C_i {\ }_{m+i}C_{i}\frac{1}{(\pm 2i\delta_\varepsilon)^{m+i}} \frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} );
である。 の微分は、
&math( \nu'(z)=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big([z+\varepsilon_F]^{1/2}\Big)' =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}[z+\varepsilon_F]^{-1/2}\Big) = \frac{1}{2}\frac{1}{z+\varepsilon_F}\nu(z) );
&math( \nu''(z) =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-3/2}\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^2}\nu(z) );
&math( \nu'''(z) =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-5/2}\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^3}\nu(z) );
&math( \frac{d^n\nu(z)}{dz^n} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(z)}{(z+\varepsilon_F)^n} );
すなわち、
&math( &\nu'(z)|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}=\frac{1}{2}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon} \sim \pm\frac{\nu(0)}{2\varepsilon_F} );
&math( \frac{d^n\nu(z)}{dz^n}\Big|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{(\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon)^n} \sim \pm(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2\varepsilon_F)^n}\nu(0) );
である。先頭に出てくる複号は、 のカットが実数軸に沿って走るため、 が上半面にあるか下半面にあるかで符号が異なるためである。
f'(ω) に掛かる第1項の主項 : (grga)†
これを用いると(後で出てくる を先取りして使う)、
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r g^a = \pi i \left[
- \frac{\nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)}{-2i\delta_\varepsilon} - \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{ 2i\delta_\varepsilon}
\right] = \frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big[
\nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon) - \nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)
\Big] \\ &= \frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big[
\nu(0) + \nu(0)
\Big] = \frac{\pi}{\delta_\varepsilon} \nu(0) = \frac{2\pi\tau}{\hbar} \nu(0) );
低温では (9.12) に示されるように と見なせるため、
(9.8-1)
&math( \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega} = \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{2\pi\tau}{\hbar} \nu(0) =
- \Omega \int d\omega \delta(\omega) \frac{\tau}{\hbar} \nu(0) =
- \Omega\tau \frac{\nu(0)}{\hbar} );
f'(ω) に掛かる第2項の主項 : (gaga+grgr)†
また、こちらは (8.137) でも評価済みであるが、
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega} g^a_{\bm k,\omega} = \pi i \nu'(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon) = i\frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon} );
より、
(9.8-2)
&math( &\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega} = i\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon} =
- i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon}\\ &\sim i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(0)}{\varepsilon_F} = \textcolor{red}{+}\frac{\pi i}{2}\Omega \frac{2\tau}{\hbar} \nu(0)\left(\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}\right) );
ただしこれらは の影響を除いた評価になっている。
f'(ω) に掛かる項の q, Ω 成分†
&math( \Delta_{\bm q,\Omega} = \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} - \frac{\hbar\Omega}{2} );
の掛かっている部分の和を取ろうとすると、 が を含むために計算がしづらい。
以下で見る の項については や だけしか掛かっていなかったのでうまく に関する部分積分が使えるけれど、 と がまぜこぜに掛かっていると、同じ方法では評価できないから。
とはいえ、考え方としては の項はそもそも を で展開した福次項であり、そのさらに福次項である の項をそこまで厳密に評価しなくても無視して良いのかもしれない。
→ この点について、なぜかずいぶん後の (9.33)〜(9.37) で詳しく見ることになる
そう言う意味で、 の主項 に掛かる福次項は以下でしっかり評価することになる。
f(ω) に掛かる項†
(9.7) の の項について見てみる。
&math( &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) );
の第1項は、
(9.10)
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_-g^a_+ \\&\sim \frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\big) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\big) \\&= \frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega) \big(\textcolor{red}{g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
- \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^4}\big) );
じゃないのだろうか? の項が出る理由が分からない???
&math( &\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \frac{\PD}{\PD \omega}\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} = -\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );
を使って書き換えると、
(9.11)
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_-g^a_+ \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega) \big(-\frac{\PD g^\alpha_{\bm k,\omega}}{\PD \omega}
- \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\frac{\PD g^\alpha_{\bm k,\omega}}{\PD \omega}\big) \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k} \Bigg(
- \Big[f(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) \Big]_{-\infty}^\infty+ \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) \Bigg) \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) );
で を用いて部分積分を行った。
は低温でステップ関数となるため、その微分はδ関数と見なせる。
(9.12), (9.13)
そこで、
(9.14)
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_-g^a_+ \\&=
- \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \delta(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) \\&=
- \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k,0}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,0}{}^3\big) \\&\equiv
- \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k}{}^3\big) );
となる。 である。
ここへ来てようやく、 のような計算の中で暗黙のうちに が仮定されていた理由が分かった。
第1項は簡単に評価できるので、以下は第2項について考える。
f(ω) にかかる q に依存する項†
まずは の中の 依存する項のみ考える。
&math( &\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3 = \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3 \\&= \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} );
この &math( &\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} ); について、
の時には、
&math( &\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}\sum_{\bm k_i} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_i}\left(\sum_{\bm k_j} k_j\right) g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_i} 0 g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = 0 );
の時には、
&math( &\sum_{\bm k} k_i g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}\sum_{\bm k_i} k_i \left(\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\right)' = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j} \left[ k_i \left(\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\right)' \right]
- \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j} \sum_{\bm k_i} \frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\ &=-\sum_{\bm k}\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\ );
したがって、
&math( &\sum_{\bm k} k_i g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} =-\sum_{\bm k}\frac{1}{2}\delta_{ij}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\ );
すると、
(9.16)
&math( &\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3 = \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3 \\&= \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} );
これを使って、
&math( &\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3 = \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3 \\&=
- \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k}\frac{1}{2}\delta_{ij}g_{\bm k}^\alpha{}^2 \\&=
- \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} q_i^2 \sum_{\bm k}\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2 \\&=
- \sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2 );
すなわち、
(9.17)
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega} =
- \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k}
- \frac{1}{6} \Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \, g^\alpha_{\bm k}{}^2\big) );
うわ、ひどいなこれ。(9.10) の意味不明な第2項、いつの間にか無くなってるよ。
(9.18)〜(9.22) はすでに何回も使っている → δ関数の性質
ただ、教科書のの計算は途中まで の物になっているので注意。
(9.23)
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega} =
- \frac{1}{2\pi\hbar}\left(+\pi i\nu(0)\right) \left[1
- \frac{1}{6\varepsilon_F} \Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \right] =
- \frac{i\nu(0)}{2\hbar} \left[1
- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] );
ここで、 を用いた。
同様にして、
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega} = \frac{i\nu(0)}{2\hbar} \left[1
- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] );
より、
&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)\Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}
- g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}\Big) =
- \frac{i\nu(0)}{\hbar} \left[1
- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] \sim
- \frac{i\nu(0)}{\hbar} );
第2項は第1項に比べて だけ小さく、無視できる。
f(ω) にかかる Ω2 に依存する項†
の項は、
&math( &\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \frac{1}{3} \Delta_{\bm 0,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k}{}^3 \\&= \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar}} \frac{1}{3} \left(-\frac{\textcolor{red}{\hbar} \Omega}{2}\right)^2 \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^\alpha_{\bm k}{}^3 \\&=
- \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar}} \frac{\textcolor{red}{\hbar^2}\Omega^2}{12} \pi i\nu''(-i\delta_\varepsilon) \\&= \frac{i}{2\textcolor{red}{\hbar}} \frac{\textcolor{red}{\hbar^2}\Omega^2}{12} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{4\varepsilon_F{}^2} \\&=
- \frac{1}{48}\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \frac{i\nu(0)}{2\hbar} );
第1項に比べて だけ小さいことが分かった。
f(ω) にかかる q2Ω に依存する項†
以下では と は同じくらいか、 むしろ の方が小さいような扱いを受けている。
(9.24) が に比例する項を見ているのはそのためのようだ。
この項は後で見ることにする。
したがって、
(9.25)
&math( &\frac{1}{\textcolor{red}{N}}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)(g^a_-g^a_+-g^r_-g^r_+) \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{N}}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)(g^a_{\bm k,\omega}{}^2-g^r_{\bm k,\omega}{}^2) \left[ 1 + O\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right] \\&=
- \frac{i\nu(0)}{\hbar} \left[ 1 + O\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right] );
と評価できる。
最終的には†
(9.26)
&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=
- i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
- f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] \\&\sim
- i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
- f(\omega)(g^a_{\bm k,\omega}{}^2 - g^r_{\bm k,\omega}{}^2) \Big] \\&=
- i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[
- \Omega\tau\frac{\nu(0)}{\hbar}
- \frac{i\nu(0)}{\hbar} \right] \\&=
- \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1-i\Omega\tau \right] );
と評価できる。