スピントロニクス理論の基礎/8-7 の履歴(No.12)
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8-7 自由電子の場合の具体例†
この章では、 という表示が用いられている。
自由な電子の時間発展†
(8.80)
(8.29) の を代入し (8.23) を用いて (8.29)→(8.30) と同様の変形をする。
&math( &\dot c_\mathrm H(\bm k)=\frac{i}{\hbar}[H_{0\mathrm H},c_\mathrm H(\bm k)]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger[H_0,c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)[c^\dagger(\bm k') c(\bm k'),c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\Big(c^\dagger(\bm k')\{ c(\bm k'),c(\bm k)\}-\{c^\dagger(\bm k'),c(\bm k)\}c(\bm k')\Big)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\delta^3(\bm k-\bm k')c(\bm k')U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}U^\dagger c(\bm k)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}c_\mathrm H(\bm k)\\ );
(8.81)
これを積分すると、
&math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c_\mathrm H(\bm k,t_0)\\ &=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0));
に注意。
通常の表示との比較†
(8.82)
一方で、
&math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\ &=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k,t_0)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)} );
(8.81) と (8.82) が「等価である」という点についてちょっと厳密性を欠いた検証：
は消滅演算子なので、波数
を持つ粒子が１ついる状態
に作用させるとその粒子が消滅して波数
を持つ粒子が１つもいない状態
を生じる。その際の係数は 1 である。
→ フェルミオンの交換関係
元がゼロの時も考えると、
この に を作用させてみると、 、 より、
&math( &c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k)\ket{1}_{\bm k}\\ );
矛盾しない。
任意の波動関数を考えると話はここまで簡単ではないけれど、 右側の が掛かる時点に比べて左側の が掛かる時点では粒子が１つ減っていて、 その分のエネルギー差が現われるという点では同じなのだと思う。 （元々粒子がいない時には両辺がゼロになるので、式としては成立する）
$G^<$ について†
グリーン関数が実際に使われるときは のような和が取られることを先取りして、 を使う。
(8.83)
すなわち、
&math( g_{\bm k}^<(t-t') \equiv ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k}) );
フェルミ分布関数†
ただしここで、
&math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|\hat n(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|\hat n|0}
- e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|\hat n|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0}
- e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ 1 \braket{0|0|0}
- e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} );
本当は分母・分子ともに の粒子の状態以外の状態数がかけ算されたり、 の粒子以外のエネルギーに対応する重みが掛かったりするはずだけれど、 それらは分母・分子で括りだした上で通分できて、必要な因子は上記の通りとなる。
詳しく見てみる†
全部まじめにやるならば、 を持つ電子を 個ずつ持つ波動関数を
と書く。すなわちすべての に対して、
&math(\hat n_{\bm k_i} \ket{n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots}= n_{\bm k_i} \ket{n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots});
が成り立つとする。電子はフェルミオンなので、実際には である。
このとき、
&math( Z_0= \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta(
n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+
n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots
)} \braket{
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots
} );
であり、分子に現われる は、
&math( \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta(
n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+
n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots
)} \braket{
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|\,
\hat n_{k_i}\,|
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots
} );
となる。
&math( \braket{
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|\,
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots
}=1 );
&math( \braket{
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|\,
\hat n_{\bm k_i}\,|
n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots
}=n_{\bm k_i} );
を使うと、
&math( &\llangle c^\dagger_{\bm k_i} c_{\bm k_i} \rrangle=\llangle \hat n_{\bm k_i} \rrangle\\ &=\frac{ \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta(
n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+
n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots
)} \cdot n_{\bm k_i} }{ \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta(
n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+
n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots
)} \cdot 1 }\\ );
&math( &=\frac{ \sum_{n_{\bm k_i}} e^{-i\beta
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}
} \cdot n_{\bm k_i} \left( \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_{i-1}}} \sum_{n_{\bm k_{i+1}}} \dots e^{-i\beta(
n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+
n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots
n_{\bm k_{i-1}}\varepsilon_{\bm k_{i-1}}+
n_{\bm k_{i+1}}\varepsilon_{\bm k_{i+1}}+\dots
)} \right) }{ \sum_{n_{\bm k_i}} e^{-i\beta
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}
} \left( \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_{i-1}}} \sum_{n_{\bm k_{i+1}}} \dots e^{-i\beta(
n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+
n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots
n_{\bm k_{i-1}}\varepsilon_{\bm k_{i-1}}+
n_{\bm k_{i+1}}\varepsilon_{\bm k_{i+1}}+\dots
)} \right) }\\ );
&math( &=\frac{ \sum_{n_{\bm k_i}} n_{\bm k_i} e^{-i\beta
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}
} }{ \sum_{n_{\bm k_i}} e^{-i\beta
n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}
} }\\ );
のように通分できて、上記の１つの のみを考えた場合に帰着する。
$G^>$ について†
同様に、
すなわち、
&math( g_{\bm k}^>(t-t')\equiv
- ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})] );
ただし、
&math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|(1-\hat n)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|(1-\hat n)|0}
- e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|(1-\hat n)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0}
- e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ 1 \braket{0|1|0}
- e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|0|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} =1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} );
このように詳細に計算しても求まるが、もともとの反交換関係が
なので、
としてしまえば計算の必要は無い。
→ フェルミオンの交換関係
(8.84)
$\delta_{\bm k,\bm k'}$ の意味†
(8.83) で が出るのは、
&math(\braket{\alpha|c^\dagger_\mathrm H(\bm k') c_\mathrm H(\bm k)|\alpha} =\braket{c_\mathrm H(\bm k')\alpha|c_\mathrm H(\bm k)\alpha}=\delta_{\bm k,\bm k'});
すなわち の時、
となるためである。
$t, \omega$ のフーリエ変換†
(8.85)
&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^< &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'
e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'
e^{\frac{i}{\hbar}[(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) t-(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k}) t']} f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=i\hbar 2\pi\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})2\pi\delta(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot 2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^<);
および を使った。
の表式は を に対して Fourier 変換しても求まる。
同様にして、
&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^> &=-i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'
e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1- f(\varepsilon_{\bm k})]\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot -2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})[1-f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^>);
$G^r$ および $G^a$ について†
(8.88)
&math( g_{0\bm k\omega\omega'}^r &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'
e^{i\omega t-i\omega' t'} \theta(t-t')\Big(g_{0\bm k}^>(t,t')-g_{0\bm k}^<(t,t')\Big)\\
&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_{-\infty}^\infty dt
e^{i\omega (t-t')}\theta(t-t') \Big(g_{0\bm k}^>(t-t')-g_{0\bm k}^<(t-t')\Big)\\
&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_0^\infty dt''
e^{i\omega t''} \Big(g_{0\bm k}^>(t'')-g_{0\bm k}^<(t'')\Big)\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\frac{1}{\hbar}\int_0^\infty dt''
e^{i\omega ''} \Big(-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}(1-f_{\bm k})
-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}f_{\bm k}\Big)\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''
e^{i\omega t''} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''
e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^r );
&math( g_{0\bm k\omega}^r=\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''
e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}
);
これを評価するには、超関数をある程度分かっていないといけないようなのだけれど・・・
Wikipedia/ディラックのデルタ関数
&math( \delta(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t}\\ &=\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i0}-\frac{1}{w-i0}\right)\\ &=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i\Delta_\omega}-\frac{1}{w-i\Delta_\omega}\right)\\ &=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{1}{\pi}\frac{\Delta_\omega}{w^2+\Delta_\omega^2} );
だそうで、
&math(
- i\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t} &=-i\int_0^\infty dt e^{-i\omega t}-i\int_{-\infty}^0 dt e^{-i\omega t}\\ &=\hspace{6.6mm}\frac{1}{w+i0}\hspace{6.6mm}-\hspace{6.6mm}\frac{1}{w-i0} );
を認めれば、 とすると (8.88) が出てくる。
※(2011.9.5 追記) 上記の計算の仕方を植田先生の授業で教えていただいた。
積分の中が の時に位相が決まらないことが問題なので、 以下のように の部分を を用いて とすることで、 の時に収束するようにしておいて、 最後に に持って行けば良い。
&math(
- i\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t} &=-i\int_0^\infty dt e^{-i\omega t}-i\int_{-\infty}^0 dt e^{-i\omega t}\\ &=-i\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_0^\infty dt e^{(-i\omega -\delta)t}
- i\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{-\infty}^0 dt e^{(-i\omega+\delta) t} \\ &=-i\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{-i\omega -\delta}e^{(-i\omega -\delta)t}\right]_0^\infty
- i\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{-i\omega +\delta}e^{(-i\omega +\delta)t}\right]_{-\infty}^0\\ &=-i\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{-i\omega -\delta}(0-1)
- i\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{-i\omega +\delta}(1-0)\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{w+i\delta}
- \lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{w-i\delta}\\ &\equiv\hspace{6.6mm}\frac{1}{w+i0}\hspace{3.3mm}-\hspace{3.3mm}\frac{1}{w-i0} );
※ここまで追記
もう一方は、
&math(g_{0\bm k\omega}^a =\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^0dt e^{i\frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})t} =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0});
なので、
(8.89)
(8.87) の をこれで置き換えると
(8.90)
さらに、 があるため を仮定できて、
(8.91)
とも書ける。
$G^t$ について†
(8.70) に (8.83) を代入すると、
(8.92)
&math( g_{0\bm k}^t(t,t')&=\theta(t-t')g_{0\bm k}^>(t,t')+\theta(t'-t)g_{0\bm k}^<(t,t')\\ &=-\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]
+\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)} f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)}[\theta(t-t')(1-f(\varepsilon_{\bm k}))-\theta(t'-t)f(\varepsilon_{\bm k})] );
(8.93)
フーリエ変換すると (8.88) などと同様に、
&math(g_{0\bm k\omega}^t =\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
- \frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});
(8.94), (8.95)
では となるため、
&math(g_{0\bm k\omega}^t\big|_{T=0} =\frac{\theta(-\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
- \frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0} = \frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\mathrm{sgn}(\varepsilon_{\bm k})\times i0});
質問・コメント†
誤植？†
沖縄の酔いどれゾンビ ()
(8.83)など1/hが抜けている気がします。
(8.92)ででてきたg_{0k}^t(t,t')はg_{0kw}^t(t,t')のwを省略しているのですか。