量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ の履歴(No.12)
更新概要†
量子力学Ⅰ/固有値と期待値 のページへの補足です。
発展：２つの固有値の重ね合わせ†
物理量 $O$ に対応する演算子 $\hat O$ の２つの固有関数
$$\begin{aligned}\hat O\varphi_1=\lambda_1\varphi_1\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\hat O\varphi_2=\lambda_2\varphi_2\end{aligned}$$
を混ぜ合わせて作った波動関数
$$\begin{aligned}\varphi=a\varphi_1+b\varphi_2\end{aligned}$$
に対して $O$ を測定したときに、測定結果が $O=\lambda$ となる確率は、$O=\lambda$ のときに $1$ を、$O\ne\lambda$ のときに $0$ を取る演算子
$$ P_{\{O=\lambda\}}=\begin{cases} \ 1&(O=\lambda)\\ \ 0&(O\ne\lambda)\\ \end{cases} $$
の期待値を求めることで得られる。
$\hat P_{\{O=\lambda_1\}}\varphi_1=\varphi_1$, $\hat P_{\{O=\lambda_1\}}\varphi_2=0$ となることを使って $O=\lambda_1$ となる確率を求めると、
$$ \begin{aligned} \overline{P_{\{O=\lambda_1\}}}&=(\varphi,\hat P_{\{O=\lambda_1\}}\varphi)\\ &=(a\varphi_1+b\varphi_2,a\varphi_1)\\ &=|a|^2\|\varphi_1\|^2+ab^*\cancel{(\varphi_2,\varphi_1)}\\ &=|a|^2 \end{aligned} $$
となり、確かに $O$ は確率 $|a|^2$ で $\lambda_1$ を取ることを確認できる。
同様に、確率 $|b|^2$ で $\lambda_2$ を取ることも確認できる。
演習：物理量を表わす演算子のエルミート性†
解答†
(1)
が実数であれば であることに注意して、
&math(\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\hat f\varphi_2(x)\,dx &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)f(x)\varphi_2(x)\,dx\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ \end{array} );
(2)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx &=\underbrace{\Big[\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{d}{d x}\varphi_1^*(x)\Big)\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\Big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ );
(3)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat p\,\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{d}{d x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ );
(4)
&math( (\varphi_1,\hat X^n\varphi_2) &=(\varphi_1,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_n\varphi_2)\\ &=(\hat X\varphi_1,\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2)\\ &=(\hat X\hat X\varphi_1,\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi_2)\\ &\ \ \vdots\\ &=(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_n\varphi_1,\varphi_2)\\ &=(\hat X^n\varphi_1,\varphi_2)\\ );
(5)
&math( \big(\varphi_1,(\hat X+\hat Y)\varphi_2\big) &=\big(\varphi_1,\hat X\varphi_2\big)+\big(\varphi_1,\hat Y\varphi_2\big)\\ &=\big(\hat X\varphi_1,\varphi_2\big)+\big(\hat Y\varphi_1,\varphi_2\big)\\ &=\big((\hat X+\hat Y)\varphi_1,\varphi_2\big)\\ );
(6)
&math( (\varphi_1,\hat X\hat Y\varphi_2) &=(\hat X\varphi_1,\hat Y\varphi_2)\\ &=(\hat Y\hat X\varphi_1,\varphi_2)\\ );
任意の に対してこれが に等しいためには、
すなわち でなければならない。
このように入れ替えても結果の変わらない演算子同士は「
(7) (1) の通り実数関数 の部分はエルミートであるから、 がエルミートであることを示せば、(5) により はエルミートになる。
(1) より定数関数 はエルミートである。 また、 はエルミートであるから (4) より はエルミートである。
と は可換であるから もエルミートである。
(8)
&math( \hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big) &=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+\hat x\hat p\Big)\varphi(x)\\ );
より、
あるいは、
エルミート共役演算子の存在†
ある演算子 に対するエルミート共役演算子 は必ず存在する。 線形空間に正規直交基底 を取れば の行列表現は である。 そのエルミート共役を取ればそれがエルミート共役演算子の行列表現である。
&math( \because (f,T g) &=(\sum_n f_n\phi_n,T \sum_m g_m \phi_m)\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_n,T \phi_m)\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T)_{nm}\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger)_{mn}^*\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_m,T^\dagger\phi_n)^*\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger\phi_n,\phi_m)\\ &=(\sum_n f_nT^\dagger\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\ &=(T^\dagger\sum_n f_n\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\ &=(T^\dagger f,g)\\ );
自己共役演算子†
自己共役演算子 と エルミート演算子 とは混同して説明されることも多いが厳密には異なる概念であり、 エルミート性を満たす演算子であっても自己共役性を満たさないものが存在し、 そのような演算子は物理量に対応するものではない、ということが重要になる場合があるそうだ。
例えば：
https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/qmbj/files/QMB_AppendixA_20210129.pdf
理解できた範囲で以下に簡単な説明を書く予定：