スピントロニクス理論の基礎/8-9 の履歴(No.2)
更新8-9 不純物による電子散乱†
不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。
- 散乱により運動量が変化する
- 弾性的つまりエネルギーを変化させない
- 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である
これを表すポテンシャルは、
(8.106)
(8.106A)
として、位置 に体積 高さ のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、 その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。
は不純物の数であり、個々の不純物は のラベルで区別する。 (ラベルを にすると紛らわしい)
ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで そのフーリエ成分の の成分をゼロにしておくと、 後に便利である。(この性質は後で多用される)
(8.107)
に注意せよ。
(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。
(8.108)
この に対する Green 関数 は (8.105) より、
(8.109)
&math( &g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
- \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')\\ );
次元について:
- Green 関数は元々 すなわち電子数密度なので (1/体積) の次元を持つ。
- したがって、 で無次元
- は (エネルギー) の次元で、 は (エネルギーの逆数) の次元
- したがって、 で無次元
- それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい
- すなわち が必要なのは間違いない
(8.66) および () より
(8.110)
&math( &g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)+\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')+\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1 g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1 g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')+\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
- g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );
ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、
より、
(8.111)
&math( &g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
- g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );
同様にして、
(8.112)
&math( &g^>(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^>(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^>(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
- g_0^>(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );
(8.113)
&math( &g^r(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
- g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]\\ &= g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')
- \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t'));
&math( &g^a(\bm r,t,\bm r',t')\\ &= g_0^a(\bm r,t,\bm r',t')
- \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t') );
ここで (8.38) より および なので、
を用いた。
および がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。
以上を省略形にまとめると、