線形代数I
ベクトルとは?†
- 縦数ベクトル:
- 横数ベクトル:
- 幾何ベクトル:
- そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる
直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと1対1に対応させられる。
ベクトル空間とベクトル†
上記のように、
-
(スカラー倍)
-
(和)
が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。
詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。
n 次元数ベクトル空間†
- 実数の集合を
-
次元(縦)実数ベクトル空間を
と書くことにする。
以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを
- 複素数の集合
-
次元複素数の集合
に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。
1次結合(線形結合)†
の形を
の「一次結合」と言う。
例1:
の一次結合:
,
,
例2:
は、
基本ベクトル
を用いて、
と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。
例3:
を
の一次結合で表せるか?というような問題が出されることがある。これは、
を満たす
は存在するか?という問題と同値である。
一次関係式†
を
の「一次関係式」と呼び、特に
の場合を「自明な一次関係式」と呼ぶ。
一次独立†
が非自明な一次関係式を持たないとき、
すなわち
の解が
しか存在しないとき、
は「1次独立(線形独立)」であると言う。
すなわち、
が1次独立であるかどうかを調べるには
を解けばよい。
一次従属†
一次独立でないことを「一次従属である」と言う。
A が正方の時†
以下の条件は同値である。
-
が一次独立
-
の解が
のみ
-
が正則
すなわち、
個の数ベクトルが一次独立であるかどうかを調べるには
を計算してみればよい。
線形空間†
線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Iでは扱わない。
線形写像と表現行列†
を与えると
を返すような関数
を考える。
すなわち
は様々な物が考えられるが、任意の
に対して、必ず1つだけ
が決まることが重要である。
のベクトル全てを、対応する
のベクトルに変換する、という意味で、このような関数を「写像」と呼ぶこともある。
例:
,
の時、例えば
として定義される
は、
を1組決めれば
が決まるため、
の写像となる。
線形写像†
ある写像
が線形であるとは、任意の
および
に対して、
が成り立つことを言う。