固有値と固有ベクトル の履歴(No.2)
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固有値問題†
Ax と x との関係†
正方行列 を考える。
通常、 は元のベクトル と必ずしも平行にならない。
例:
&math( A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} );
であれば
しかし、 をうまく選ぶと となる場合がある。
であれば
であれば
であり、元のベクトルと平行になっている。
固有値問題†
与えられた正方行列 に対して、 、 が
を満たすとき、
-
を
の 固有値
(ギリシャ数字の "ラムダ" で書くのが慣例) - を の固有値 に属する 固有ベクトル
と呼ぶ。
固有値問題 とは、
与えられた正方行列
に対して、
固有値と固有ベクトルを(すべて)求める問題である。
どんな役にたつ?†
この授業でもやるように、「行列の対角化」の基礎となる。
→ 行列の対角化は広い範囲の応用がある
特に量子力学では固有値、固有ベクトルが主要な役割を担う。
注意†
とすると、
は任意の に対して成り立ってしまう。
この 自明な解 は固有ベクトルに含めない。
固有値問題の解法†
まずは固有値を与える方程式を導こう。
に、単位行列 を導入して、
と書くことができる。すると、
が得られる。
行列 が正則である場合(逆行列を持つ場合)、 上式の左から逆行列を掛けると、
- (左辺)
- (右辺)
となり、 が導かれてしまう。
すなわち、行列 が正則になるような に対して、固有ベクトルは存在しない
したがって、
が 固有ベクトルが存在する の条件 となる。
固有値 の満たすこの方程式は 「行列 の固有方程式」 と呼ばれる。
得られた に対して、
を解けば固有ベクトルが求まる。
下に見るように、固有方程式を満たす に対しては必ず を求められる。
→ 固有方程式は が固有値となるための必要十分条件である
手順をまとめると†
- 固有方程式 から を(いくつか)求める
- (個々の について) を解いて を求める
すなわち、
- 一般には1つの行列 が複数の固有値 を持つ場合がある
- それぞれの固有値には、その固有値に属する固有ベクトルが(場合によっては複数)存在する
- →
- →
- :
- :
具体例†
&math( A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} );
のとき、
&math(A-\lambda I&= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
- \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} );
&math( |A-\lambda I| &= \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \\&= (3-\lambda)^2-1^2 \\&= (3-\lambda+1)(3-\lambda-1) \\&= (4-\lambda)(2-\lambda) );
&math( \therefore \lambda=2,4 );
固有ベクトルは のそれぞれの値に対して個別に求める。
① の時
&math( (A-\lambda I)\bm x &= \begin{bmatrix} 3-2 & 1 \\ 1 & 3-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \bm o = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} );
を求める手順は を係数行列とする 連立方程式を解くことに帰着する
&math( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} );
掃き出せなかった をパラメータに置き、 とすれば、
同様に、
② の時
&math( (A-\lambda I)\bm x &= \begin{bmatrix}
- 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \bm o );
&math( \begin{bmatrix}
- 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} );
そこで と置けば、
注意†
固有方程式より が正則でない、すなわち が保証されているため、 に関する連立方程式は最終行が必ず の形になり、無数の解が得られる。
固有方程式の解を用いたにもかかわらず、連立方程式が 無数の解を持つ形にならない場合には、 どこかで計算を間違えているため見直すべきである。
固有方程式が解を持たない場合†
固有方程式が解を持たない場合があるだろうか?
例:
の時、
は回転を表すため、
任意のベクトルが元とは異なる方向へ向くことになり、元のベクトルと平行にならない。
→ 固有ベクトルは存在しないはず
&math(|A-\lambda I|= \begin{vmatrix}
\cos \theta-\lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta -\lambda
\end{vmatrix} =0 );
では、第2項は必ず正となるから、
この方程式を満たす
は存在しない・・・
→ 本当?
複素数の範囲 でなら存在する!
① の時
&math((A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}
\cos \theta-\lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta -\lambda
\end{bmatrix} \bm x = \begin{bmatrix}
-i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & -i\sin\theta
\end{bmatrix} \bm x\\ &= \sin\theta \begin{bmatrix}
-i & -1 \\ 1 & -i
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 );
&math( \begin{bmatrix}
-i & -1 & 0 \\ 1 & -i & 0
\end{bmatrix} ); 一行目に を掛けてみる
&math( = \begin{bmatrix}
1 & -i & 0 \\ 1 & -i & 0
\end{bmatrix} );
&math( = \begin{bmatrix}
1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} );
より と置けば、
② の時
&math((A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}
i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & i\sin\theta
\end{bmatrix} \bm x\\ &= \sin\theta \begin{bmatrix}
i & -1 \\ 1 & i
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 );
&math( \begin{bmatrix}
i & -1 & 0 \\ 1 & i & 0
\end{bmatrix} ); 一行目に を掛けて
&math( = \begin{bmatrix}
-1 & -i & 0 \\ 1 & i & 0
\end{bmatrix} );
&math( = \begin{bmatrix}
1 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} );
より と置けば、
確認してみる:
&math(A\bm x= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
is \\ s
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
is\cos \theta - s\sin\theta \\ is\sin\theta + s\cos\theta
\end{bmatrix} = s(\cos \theta + i\sin\theta) \begin{bmatrix}
i \\ 1
\end{bmatrix} );
&math(A\bm x= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-it \\ t
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-it\cos \theta - t\sin\theta \\ -it\sin\theta + t\cos\theta
\end{bmatrix} = t(\cos \theta - i\sin\theta) \begin{bmatrix}
-i \\ 1
\end{bmatrix} );
(騙されたみたい、かもしれないが)ちゃんとうまく行く。
固有方程式の解†
固有方程式の次数†
固有方程式 は必ず の 次方程式となる。
&math( \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \\ a_{n1} & \cdots & & a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} );
なぜなら、行列式は各行、各列から重複の無いように 個の要素を抜き出して積を作り、 そのような積を可能な限り集めて和にした物であった。
行列式 = Σ ( n 個の要素の積 )
したがって、行列式は対角要素を全て掛け合わせた項
を含んでいる。この項は の 乗を含んでいる。
また他の項から、 の より大きな次数の項は出ない。
&math(|A-\lambda I|= (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\dots(a_{nn}-\lambda)+);( の 次以下の項)
→ は の 次方程式である。
代数学の基本定理†
次方程式は複素数の範囲に必ず 個の解を持つ。
したがって、それらの解を とすれば、
と因数分解できる。
重複解†
個の解、というのは重複解を個別に数えているので、 重複解がある場合には、
などとなって、異なる解の個数 は となる。
固有値の個数†
重複度を含めて必ず 個の固有値が存在する。
例†
次行列
&math( A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} );
について、
の3つの異なる固有値が見つかる。
ただし、1 は2重解であるため重複度を含めると4つの固有値がある。