線形代数I
次の行列の階数 (rank) を求めよ。
(1)
次の行列は正則である。逆行列を求めよ。
(1)
(2)
解答1†
行基本変形により、1行目を使って他の行の1列目をゼロにする。
2行目を使って3,4行の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためには
あらかじめ3,4行を3倍しておけばよい。
2行目を使って3,4行の2列目をゼロにする。
3行目を使って4行目の3列目をゼロにする。
対角成分が4つ残ったので、
である。
解答2(1)†
与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。
行を入れ替えて左半分を対角行列にする。
各行に定数を掛けて左半分を単位行列にする。
したがって、逆行列は
解答2(2)†
与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。
1行目を使って2行目の1列目をゼロにする。
2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためにあらかじめ3倍しておく。
2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにする。
3行目を使って他の行の3列目をゼロにするため、あらかじめ7を掛けておく。
3行目を使って他の行の3列目をゼロにする。
4行目を使って他の行の4列目をゼロにするため、あらかじめ5を掛けておく。
4行目を使って他の行の4列目をゼロにする。
各行に定数を掛けて左半分を単位行列にし、右半分を取り出すとそれが逆行列となる。
約分すると、対称行列であることがはっきりする。
分母をそろえて外に出しても良い。
逆行列の計算で面倒な数値になる場合、中途段階で計算を間違えていないかを検算する方法がある。
を行方向の基本変形を施した途中結果は
となっているはずである。
したがって、途中結果の右半分
に右から元の行列
を掛けて左半分
と等しくなれば、
その時点までの計算は間違っていないと判断できる。