線形代数Ｉ/教科書演習/１Ａ−２ の履歴(No.2)

問†

で、 と が１次独立であるための 必要十分条件は であることを示せ。

解答†

まず十分であること、つまり であれば１次独立であることを示そう。

このために、

の解、 を求める。

のとき、

・・・ ①

であり、これを に代入することで

を得る。 よりこれは を表し、① からすぐに を得る。

一方、 のとき、 より であり、 すなわち であるから、

・・・ ②

となり、 のときと同様に を得る。

すなわち、 であれば１次独立であることが示された。

次に必要であることを示すが、ここでは背理法を用いることにする。

つまり１次独立であれば であることを示すかわりに、
であれば１次従属であることを示す。

・・・ ③

(1) のとき、

であるならば、 は を表す。

(1a) さらに ならば は自動的に成立し、 を満たすすべての は③を満たす。

(1b) ならば となり、 であれば x の値に依らず③が成立する。

(2) のとき

上で見たとおり、 となるすべての は ③を満たす。

すなわち であれば と は 線形従属であることが示された。

以上により与えられた命題は証明された。

コメント†