線形代数Ｉ/要点/２章A-行列 の履歴(No.2)

行列†

数字を縦横に並べて 大括弧で 囲んだもの。丸括弧ではないので注意。

行と列†

ｍ行ｎ列の行列、や、（ｍ，ｎ）−行列、と言った場合、縦にｍ個、横にｎ個の 行列を指す。

例えば上の例は（３，４）−行列。

横書き文化から来た言葉なので、横に１列に並んだ数字を１行と数える、と考えれば 間違えることは無いはず。

同様に、

1. 第３行第２列成分 ＝ (3,2)-成分 ＝
2. 第３行ベクトル、第１列ベクトル

なども普通に使えるように。

行列の成分表示†

のような行列を、省略形で

などと書く。

行列の演算†

高校で習ったのと同じ。行列表示の省略形を使うと簡単に定義できる。

• スカラー乗
  
  
  
• 加算
  
  
  
• 乗算
  (m,n)-行列と(n,p)-行列との間に乗算が定義される。
  
  
  

乗算は左右に i,j を置いて、真ん中に加算用の k をはさむ形になることに注意。

同様に、

などとなる。各自確かめてみよ。

乗算の非可換性†

一般に である。

そもそも、(m,n)-行列と(n,p)-行列との乗算は の場合には順序を 変えると定義さえされない。

ゼロ行列†

任意の について、

となるような行列をゼロ行列と呼ぶ。

ゼロ行列はすべての成分がゼロである。

単位行列†

任意の について、

となる行列は、乗算の定義される任意の について

となる。

このような行列を単位行列と呼ぶ。

単位行列は対角成分のみ１で後はすべてゼロであるような正方形の行列、つまり

という形をしている。

ここで、 はクロネッカーのデルタと呼ばれる記法で、定義は

である。

正方行列†

単位行列のように正方形の行列を 正方行列 と呼び、その縦、横の長さを正方行列の 次数 と呼ぶ。

「 をｎ次の正方行列とする」などという形で使われる。

逆行列†

正方行列 に対して、

となるような行列 を の逆行列と呼び、 と書く。

正則†

逆行列を持つ行列を 正則な行列 と呼ぶ。

「 は正則か？」「正則な行列 について〜」などという使い方をする。

転置行列†

に対して を の転置行列と呼ぶ。