射影・直和・直交直和 の履歴(No.2)

ベクトルの成分†

ある規格化されたベクトル が与えられ、
別のベクトル を に平行な成分 と、 に平行な成分 とに分けることを考える。

は と平行なので、

と書き直すと、

両辺に左から をかけることで、

が得られ、

としてこれらのベクトルを求められる。
（同じことをグラム・シュミットの直交化の中で行った）

この を の 方向成分と呼ぶ。

射影演算子†

&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e (\bm e,\bm x)\\ &=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\ &=P_{\bm e} \bm x );

ただし、 である。

この行列は から 方向成分を取り出す行列となる。

を 軸への射影演算子と呼ぶ。

直和†

あるベクトルを「成分」に分ける話を一般化する。

を の部分空間とし、
各 の基底をすべて合わせると の基底となる場合、
その基底を とすると、

&math( \bm x&=\underbrace{x_1\bm b_1+x_2\bm b_2}_{\bm x_1\in W_1}

1. \underbrace{x_3\bm b_3+\ \ }_{\bm x_2\in W_2} \dots\underbrace{\ \ +x_n\bm b_n}_{\bm x_r\in W_r}\\ &=\bm x_1+\bm x_2+\dots+\bm x_r );

のように、 のベクトル （ 成分）の和として一意に表せる。

このような場合に と書き、
は の直和である、という。

具体的な の値を求めるには、 基底 に対する の成分をすべて求めないとならないが、 一般にこれはそれほど簡単ではない。

直交直和†

各 の正規直交基底をすべて合わせると の正規直交基底となる場合、 と書き、
は の直交直和である、という。