正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する の履歴(No.2)
更新正規行列†
正規行列 は を満たす行列
準備:正規行列について $A\bm x=\lambda x$ なら $A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x$†
のとき、
であるから、
&math( 0&=\|(A-\lambda E)\bm x\|^2\\ &=\big((A-\lambda E)\bm x,(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)^\dagger(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger A-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A A^\dagger-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big((A-\lambda E)^\dagger\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\|(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\|^2\\ );
すなわち、
正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する†
が正規行列で、 のとき、
&math( &\big(\bm x,A\bm y\big)=\big(\bm x,\lambda'\bm y\big)=\lambda'\big(\bm x,\bm y\big)\\ &=\big(A^\dagger\bm x,\bm y\big)=\big(\overline\lambda\bm x,\bm y\big)=\lambda\big(\bm x,\bm y\big) );
したがって、
ならば、