線形代数II/関数空間 の履歴(No.2)

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線形代数Ⅱ

関数の線形空間 ＝ 関数空間†

閉区間 [a,b] ただし a,b\in \mathbb R で定義された任意の複素関数を要素とする集合 U は、 通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。

すなわち、 f,g\in U のとき、

u=f+g 　　ただし u(x)=f(x)+g(x)

v=kf 　　ただし v(x)=kf(x)

とすれば、 u,v\in U であり、 U はこれらの演算に対して閉じている。

以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について学んでいこう。

ベクトルの値†

\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n のとき、

添字 k に対して a_k をプロットすれば、 「ベクトルのグラフ」を表示できる。

vector1.png

k から a_k への対応関係を１つ決めると、 それが１つのベクトルを決めることに相当する。

u(x)\in U のとき、

変数 x に対して u(x) をプロットすれば、 「関数のグラフ」を表示できる。

function.png

x から u(x) への対応関係を１つ決めると、 それが１つの関数を決めることに相当する。

ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、 上記グラフはあくまで概念的な物である。

  • ベクトルの和はグラフの重ね合わせに
  • ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに

それぞれ対応する。

内積†

標準内積：

&math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b =\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k);

少し一般化して、

(\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k

としても内積の公理を満たす。ただし w_k>0 はある決まった正の数列で、 個々の成分に付けられた重みに相当する。

標準内積：

(u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x)

少し一般化して、

(u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)

としても良い。ただし、 \rho(x)>0 は「重み関数」と呼ばれる。

正規・直交†

正規性：

(\bm x,\bm x)=\|x\|^2=1

直交：

(\bm x,\bm y)=0


正規直交：

ベクトルの組 \set{\bm e_k} に対して

(\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}

正規性：

\int_a^bdx\,\rho(x)\|u(x)\|^2=1

直交：

\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)=0

正規直交：

関数の組 \set{\phi_k(x)} に対して

\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_i(x)}\phi_j(x)=\delta_{ij}

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