一次元箱形障壁のトンネル の履歴(No.2)

更新

量子力学Ⅰ

電子のエネルギーとポテンシャルエネルギー†

電子のエネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和であるから次式が成り立つ。

　 \varepsilon = V(x) + \frac{p^2}{2m}

このため古典力学においては、常に

(1)　（電子のエネルギー） ＞ （ポテンシャルエネルギー）

が成り立った。

一方、量子力学では

(2)　（電子のエネルギー） ＜ （ポテンシャルエネルギー）

となる領域にも有限の確率密度を取り得ることを見てきた。

(1) では運動エネルギーは正である。これは数学的には運動量が実数であるためである。

(2) では運動エネルギーは負である。すなわち運動量は虚数になる。

これらに対応して、(1) に対応する位置においては波数 k=p/\hbar は実数であり、

　 e^{ikx}

は振動する解を与える。 k はポテンシャルエネルギーの関数であるから、場所によって波長も異なる。

一方、(2) に対応する位置においては波数 k=p/\hbar は虚数であるから、

　 k=i\lambda

と置けば、

　 e^{ikx}=e^{-\lambda x}

となり、指数関数的に減衰する解を与える。

どちらの場合にも、

　 p^2=\hbar^2k^2=2m\{\varepsilon-V(r)\}

より、

　 k=\pm\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m\{\varepsilon-V(r)\}}

と書ける。(1) では √ 内部が正であるが、(2) では負となる。

次は調和振動子に対する波動関数を図示したものである。 上記の関係をこの図にあてはめて理解せよ。

harmonic2.png　　 harmonic1.png

トンネル現象†

Counter: 56013 (from 2010/06/03), today: 6, yesterday: 19