量子力学Ⅰ/不確定性原理 の履歴(No.2)
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不確定性原理†
量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。
不確定性原理は例えば、「 と が同時に正確に定まるような状態は存在しない」という形で言い表せる。
以下、この項では と書き、一次元で考える。
得られる結果は次のようになる。
不確定性原理の導出†
定義より、
であるから、
&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle );
演算子 、 を導入すると、 どちらもエルミートである。
これは、
&math( \int \psi^*\hat p\psi)\,d\bm r &=\int \psi^*(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi)\,d\bm r\\ &=-\int \frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi^*\psi\,d\bm r
- \underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\\ &=\int \hat p^*\psi^*\psi\,d\bm r\\ &=\int (\hat p\psi)^*\psi\,d\bm r\\ );
より、 がどちらもエルミートであることと、 定数もエルミートであること、エルミート同士の和がエルミートになること、から導かれる。
のエルミート性を用いることで、
&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx\\ &=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx\\ &=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx\\ );
を得る。最後の積分を関数の内積として考えれば、それぞれ関数 と のノルムの2乗を表わしている。 2つのベクトル に対して一般に、
が成り立つから(シュバルツの不等式)、
&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\left(\frac{\alpha\beta-\beta\alpha}{2}+\frac{\alpha\beta+\beta\alpha}{2}\right)\psi\,dx\right|^2\\ &=\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2
+\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
);
と変形できる。最後の等式で落とした項は、
&math( &\phantom{+}
\frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)^* \left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\
&+\frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*
\left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\
&=\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*-\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx
\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\\
&+\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*+\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx
\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int \psi(\alpha^*\beta^*\psi^*)\,dx
\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int \psi(\beta^*\alpha^*\psi^*)\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int (\alpha\beta\psi)^*\psi\,dx
\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int (\beta\alpha\psi)^*\psi\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int (\beta\psi)^*(\alpha\psi)\,dx
\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx
\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=0 );
となって消える。
&math( (\alpha\beta-\beta\alpha)\psi &= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)\\ &= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)-\frac{\hbar}{i}\psi\\ &= -\frac{\hbar}{i}\psi\\ );
より、
&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(i\hbar)\psi\,dx\right|^2
+\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
&\ge\frac{\hbar^2}{4}
+\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
&\ge\frac{\hbar^2}{4} );
すなわち、
を得る。
最小波束†
2つの不等号で等号が成り立つ条件は、
- シュバルツの不等式で2つのベクトルが平行であること
すなわち を定数として
1. より、
&math( (x-<x>)\psi=\gamma(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}-<p>)\psi );
&math( \frac{\PD\psi}{\PD x}=\frac{i}{\hbar}\left(\frac{x-<x>}{\gamma}+<p>\right)\psi );
&math( \psi(x,t)=\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{(x-<x>)^2}{2\gamma}+<p>x\right]} );
また、1. の式を 2. に代入すれば、
&math( 0&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\beta\psi)^*\alpha\psi\,dx\\ &=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\frac{\alpha}{\gamma}\psi)^*\alpha\psi\,dx\\ &=\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\gamma^*}\right)\int \alpha^2|\psi|^2\,dx\\ );
より、 すなわち となり、 は純虚数でなければならない。
の絶対値が大きいところで が有限となるためには は負の虚数でなければならない。 実際、 、 とすることにより
&math( \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left[\frac{(x-\langle x\rangle)^2}{4\sigma_x^2}+\frac{i\langle p\rangle}{\hbar}x\right] );
が得られ、この式は を満足する、 規格化された波動関数を与える。