量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ の履歴(No.2)
更新可換な演算子には同時固有関数を見つけられる†
$\varphi$ がエルミート演算子 $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数であれば、 $(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)\varphi=0$ が成り立つ
が 量子力学Ⅰ/不確定性原理#hb461116 で示された。
ここではその逆を証明したい。すなわち、
$\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ には $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数で正規直交完全系を取れる。
両方を合わせると、
$\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha=0$ と、 $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数が見つかることと、 は同値である
を言える。
準備†
$\hat \alpha$ はエルミートなので、その固有関数で $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ に対する正規直交系 $\{\varphi_{\lambda_\alpha}\}$ を作れる。
$$\hat\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}=\lambda_\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}$$
$(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)\varphi_\alpha=0$ が成り立つなら、
$$\hat \alpha(\hat \beta\varphi_{\lambda_\alpha}) =\hat \beta\hat\alpha\varphi_{\lambda_\alpha} =\hat \beta\lambda_\alpha\varphi_{\lambda_\alpha} =\lambda_\alpha(\hat \beta\varphi_{\lambda_\alpha}) $$
すなわち、$\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}$ も $\varphi_{\lambda_\alpha}$ と同様に $\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat\alpha$ の固有関数である。
縮退のないとき†
$\varphi_{\lambda_\alpha}$ が縮退していないとき、すなわち $\lambda_\alpha$ の固有空間が1次元であるならここから
$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}\propto \varphi_{\lambda_\alpha} $$
が導かれるが、この係数を $\lambda_\beta$ と置けば、
$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}= \lambda_\beta\varphi_{\lambda_\alpha} $$
となって、$\varphi_{\lambda_\alpha}$ が同時に $\hat\beta$ の固有関数でもあることを示せた。
縮退のあるとき†
$\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat\alpha$ の固有空間に正規直交完全系 $\{\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ が取れるとする。
このとき、$\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}$ がやはり $\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat \alpha$ の固有ベクトルであることは、 定数係数 $\{b_{kk'}\}$ を用いて
$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'}b_{kk'}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')} $$
のように表せることと同義である。行列 $B=\{b_{kk'}\}$ は $\{\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ を基底とする $\hat\beta$ の行列表現であり、$\hat\beta$ がエルミートであることから $B$ もエルミートとなる。したがって $UBU^\dagger$ を対角行列とするユニタリ行列 $U=\{u_{kk'}\}$ を見つけられる。
このとき、
$$ {\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'} u_{kk'}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')} \hspace{5mm}\leftrightarrow\hspace{5mm} \varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'} u_{k'k}^*{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k')} $$
に対して、
$$\begin{aligned} \hat\beta{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)} &=\sum_{k'} u_{kk'}\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')}\\ &=\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}} u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k^{\prime\prime})}\\ &=\sum_{k^{\prime}} \underbrace{\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}}u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}u_{k^{\prime\prime\prime}k^{\prime\prime}}^*}_{=\,(UBU^\dagger)_{kk^{\prime\prime\prime}}=\,\lambda_\beta^{(k)}}{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k^{\prime\prime\prime})}\\ &=\lambda_\beta^{(k)}{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)} \end{aligned}$$
が得られ、$\{{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ が同時固有関数からなる正規直交系となることが示された。