量子力学Ⅰ/固有値と期待値 の履歴(No.2)
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線形代数との対応†
確率密度・期待値†
[ベクトル] [ノルムの二乗] |
[波動関数] [全確率密度] |
[規格化] |
[規格化] |
[$A_H$を挟んだ内積] エルミートなので |
[$\hat H$の期待値] &math(\overline E&=\iiint \psi^*(\bm r,t)\hat H\psi(\bm r,t)d\bm r\\ &=\iiint \big(\hat H\psi(\bm r,t)\big)^*\psi(\bm r,t)d\bm r\\); |
演習:物理量を表わす演算子のエルミート性†
ここでは任意の が境界条件 を満たすような関数空間 を考える。
と取れば、現実的な問題では常にこの境界条件は満たされる。
(1) 演算子 のエルミート共役が 自身になること、 すなわち がエルミート演算子であることを示せ。 (座標 は実数であることに注意せよ)
(2) において、演算子 のエルミート共役が となることを上記の境界条件を用いて示せ。部分積分を使うと良い。
(3) において、演算子 のエルミート共役が 自身になること、すなわち がエルミート演算子であることを示せ。
(4) エルミート演算子 の和 がエルミート演算子となることを示せ。
(5) エルミート演算子 の積 がエルミート演算子となることを示せ。
このように、境界でゼロとなる空間において、 の和や積で表せる任意の演算子がエルミートになることが分かった。 一般に、任意の物理量は の関数として表わすことができるが、 テイラー展開などにより の和や積で表わすことが可能である。 したがって、任意の物理量に対応する演算子はエルミートになる。
当然、ハミルトニアン もエルミートである。
シュレーディンガー方程式・固有値†
[ベクトル方程式] |
[シュレーディンガー方程式] |
[固有値方程式] |
[時間に依存しないシュレーディンガー方程式] |
[$A_H$の固有値・固有関数] |
[エネルギー固有値・固有関数] |
[対角化] のとき、 すなわち を基底にとれば は対角行列である。 |
[固有関数に対する期待値] のとき、 |
[固有ベクトルによる展開] ならば、 &math((\bm a,A_H\bm a)&=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2(\bm e_k,A_H\bm e_k)\\ &=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k); |
[固有関数による展開] ならば、 &math(\overline E&=\iiint \Psi^*(\bm r,t)\hat H\Psi(\bm r,t)d\bm r\\ &=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k ); |