物理量の固有関数/メモ の履歴(No.2)

解答†

(1) のとき、

　&math( \int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx &=\frac{2}{\,a\,}\int_0^a\sin(n\pi x/a)\sin(m\pi x/a)dx\\ &=\frac{1}{\,a\,}\int_0^a\sin\Big((n+m)\pi x/a\Big)+\sin\Big((n-m)\pi x/a\Big)dx\\ &=\frac{1}{\,a\,}\bigg[\frac{a}{(n+m)\pi}\cos\Big((n+m)\pi x/a\Big)+\\ &\hspace{12mm}\frac{a}{(n-m)\pi}\cos\Big((n-m)\pi x/a\Big)\bigg]_0^a\\ &=0 );

(2) のとき、上式の右辺第一項はやはりゼロになるが、第二項は積分内が になって、

　&math( \int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=\frac{1}{\,a\,}\int_0^a 1\,dx=1 );

(1) と合わせれば、

　&math( \int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=\delta_{nm} );

(3)

　

解説†

Mathematica ソース

LANG:mathematica
c[n_Integer] =
  Integrate[
    Sqrt[2] Sin[n Pi xx] If[xx < 1/2, xx, -1 + xx],
    {xx, 0, 1}
  ]
approx = 
  Table[
    Sum[
      c[n] Sqrt[2] Sin[n Pi x],
      {n, 1, nmax}
    ],
    {nmax, {4, 16, 64, 256}}
];
Plot[
  {approx, If[x < 1/2, x, -1 + x]} // Flatten // Evaluate,
  {x, 0, 1}, ImageSize -> Large, PlotStyle -> {Thick}, 
  BaseStyle -> {FontSize -> 20}, 
  PlotLegends -> (Style[#, FontSize -> 20] & /@ { 
    "n \[LessEqual] 4", "n \[LessEqual] 16", "n \[LessEqual] 64", "n \[LessEqual] 256", 
    "Target"})
]