量子力学Ⅰ/球面調和関数 の履歴(No.2)
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球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$:角運動量の固有関数†
回転方向の方程式に を掛けると、 であるから、
&math(
- \hbar^2\hat\Lambda Y(\theta,\phi)=\hat{\bm l^2}Y(\theta,\phi)=\underbrace{\hbar^2l(l+1)}_{固有値}Y(\theta,\phi) );
となって、全角運動量の固有値問題になっていることが分かる。
具体的に方程式を書き下せば、
&math( \Big[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)Y(\theta,\phi) );
これをさらに変数分離するため、 を代入すれば、
&math( &\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)\sin^2\theta Y(\theta,\phi)\\ );
&math( &\frac{1}{\Theta(\theta)}\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1)\sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\\ );
共通の定数を後を見越して と置くと、
より、
一方、
&math(\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1) \sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=m^2\Theta(\theta));
は、 が
の範囲の整数になるときのみ解を持ち、その固有関数はルジャンドルの陪関数と呼ばれている。
ただし、 はルジャンドルの多項式で、
によって与えられる。これらを用いれば、規格直交完全な固有関数を
と表せる。この関数は 球面調和関数 と呼ばれる。
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