球座標を用いた変数分離 の履歴(No.20)

目次†

量子力学Ⅰ

中心力場の中での運動†

球対称なポテンシャル の中での運動を考える。

このとき、 の直交座標ではなく、 を用いた球座標を用いると都合がよい。

球座標における微分演算子（まとめ）†

導出方法はこちら

球座標：

　&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

ラプラシアン：

　

　&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

角運動量の大きさの２乗：

　&math( \hat{\bm l}^2=-\hbar^2\hat\Lambda );

ラプラシアンの の項の係数は、 角運動量の大きさの２乗の演算子 と の係数を除いて等しい。

軸まわりの運動量：

　&math( \hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} );

角運動量の上昇・下降演算子（意味は後ほど）：

　

演習：シュレーディンガー方程式の変数分離†

球座標表示におけるラプラシアンは以下のように表される。

　

　&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

以下の問いに従って、中心力場 の中での粒子の運動について考えよ。

(1) を示せ。

(2) 与えられたラプラシアンの表式と (1) の結果を用いて、 球座標表示における時間を含まないシュレーディンガー方程式を書き下せ。 解答には を用いて良い。

(3) 波動関数を と置き、 (2) の方程式を変数分離することにより、以下の方程式を導け。 ただし共通の定数を と置いた。

　&math( &-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r) );

　&math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)=-l(l+1)Y(\theta,\phi) );

(4) (3) の方程式を解いて得られる および が角運動量の大きさの２乗 の固有関数であり、その固有値が となることを確かめよ。

(5) 古典論において、質量 の粒子が原点から の距離を角速度 で回転するときの角運動量は であり、遠心力は で与えられる。
ここから遠心力に対するポテンシャルエネルギーが と書けることを示し、(3) で得た の方程式に現れる の項が遠心力の寄与を表わすことを理解せよ。中心力場内では角運動量が保存量となるため、 遠心力とポテンシャルエネルギーとの関係は 一定の元で であることに注意せよ。

(6) と置いて (3) の第２式を変数分離すると以下の式が得られることを確かめよ。

　&math(\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0);

　

ただし、共通の定数を と置いた（質量 と紛らわしいが慣例に従った）。

(7) に対する方程式を解き、 を満たすためには が整数値を取らなければならないことを確かめよ。

(8) (6), (3) を解いて得られた および は の固有関数であり、その固有値が であることを確かめよ。 *1符号をどう取るかに任意性が残るため、少し曖昧な書き方になっている

●解答はこちら

波動関数の正規直交性†

正しく規格化することにより、上記の は正規直交性を示す。

　

左辺の積分を球座標で書けば、

　&math(= \int_0^\infty dr\int_0^{\pi}rd\theta\int_0^{2\pi}r\sin\theta d\phi\ \varphi_{lmn}^*\varphi_{l'm'n'});

　&math( =\underbrace{ \int_0^{\pi}\Theta_l{}^m(\theta)^*\Theta_{l'}{}^{m'}(\theta)\,\sin\theta d\theta}_{\delta_{ll'}}\

\underbrace{ \int_0^{2\pi}\Phi_m(\phi)^*\Phi_{m'}(\phi) \,d\phi}_{\delta_{mm'}}\ 
\underbrace{ \int_0^\infty R_n{}^l(r)^*R_{n'}{}^{l'}(r)\,r^2dr}_{\delta_{nn'}}

);

となって、 に対する正規直交条件は、

　
　
　

となる。

に対する積分に 、 に対する積分に の重みが それぞれかかることに注意せよ。

前の単元 ＜＜＜ 　　　　　　　　　　　　　量子力学Ⅰ　　　　　　　　　　　　　 ＞＞＞ 次の単元

質問・コメント†