球座標を用いた変数分離 の履歴(No.21)
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目次†
中心力場の中での運動†
球対称なポテンシャル の中での運動を考える。
このとき、 の直交座標ではなく、 を用いた球座標を用いると都合がよい。
球座標における微分演算子（まとめ）†
球座標：
&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );
ラプラシアン：
&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});
角運動量の大きさの２乗：
&math( \hat{\bm l}^2=-\hbar^2\hat\Lambda );
ラプラシアンの の項の係数は、 角運動量の大きさの２乗の演算子 と の係数を除いて等しい。
軸まわりの運動量：
&math( \hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} );
角運動量の上昇・下降演算子（意味は後ほど）：
演習：シュレーディンガー方程式の変数分離†
球座標表示におけるラプラシアンは以下のように表される。
&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});
以下の問いに従って、中心力場 の中での粒子の運動について考えよ。
(1) を示せ。
(2) 与えられたラプラシアンの表式と (1) の結果を用いて、 球座標表示における時間を含まないシュレーディンガー方程式を書き下せ。 解答には を用いて良い。
(3) 波動関数を と置き、 (2) の方程式を変数分離することにより、以下の方程式を導け。 ただし共通の定数を と置いた。
&math( &-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r) );
&math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)=-l(l+1)Y(\theta,\phi) );
(4) (3) の方程式を解いて得られる および が角運動量の大きさの２乗 の固有関数であり、その固有値が となることを確かめよ。
(5) 古典論において、質量
の粒子が原点から
の距離を角速度
で回転するときの角運動量は
であり、遠心力は
で与えられる。
ここから遠心力に対するポテンシャルエネルギーが
と書けることを示し、(3) で得た
の方程式に現れる
の項が遠心力の寄与を表わすことを理解せよ。中心力場内では角運動量が保存量となるため、
遠心力とポテンシャルエネルギーとの関係は
一定の元で
であることに注意せよ。
(6) と置いて (3) の第２式を変数分離すると以下の式が得られることを確かめよ。
&math(\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0);
ただし、共通の定数を と置いた（質量 と紛らわしいが慣例に従った）。
(7) に対する方程式を解き、 を満たすためには が整数値を取らなければならないことを確かめよ。
(8) (6), (3) を解いて得られた および は の固有関数であり、その固有値が であることを確かめよ。 *1符号をどう取るかに任意性が残るため、少し曖昧な書き方になっている
解説†
球対称ポテンシャル に対する時間を含まないシュレーディンガー方程式：
は球座標
&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );
を用いて、
&math( \begin{cases} &\displaystyle\underbrace{\left[\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr^2}+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}\right]}_{\textstyle \hat H^l}\Big\{rR_n{}^l(r)\Big\}=\varepsilon_n{}^l\Big\{rR_n{}^l(r)\Big\}\\[12mm] &\hat {\bm l}^2 \,Y_l(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)\,Y_l(\theta,\phi) \end{cases} );
のように変数分離できる。これらはそれぞれ、
- 遠心力に対するポテンシャル を含む１次元ハミルトニアン
- 全角運動量の２乗
に対する固有方程式となっている。
に関する固有値問題は には依らない形で解くことができ、 固有値 に対する固有空間は 次元になる。 そして、この固有空間に角運動量の 成分を表す演算子 に対する 個の独立な固有関数を取ったのが球面調和関数 である。
ただし、
後に見るように球面調和関数は具体的には次の形を取る。
&math( Y_l^m(\theta,\phi)= \underbrace{(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)}_{\Theta(\theta)} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi}}_{\Phi(\phi)} );
一方で、 に関する固有値問題は左辺に に依存する項が含まれるため、 の値のそれぞれに対して量子数 でラベル付けされる複数のエネルギー固有値 および、対応する固有関数 が得られる。
結果的に３次元の固有関数は３つの量子数 でラベル付けされ、
すなわち、この系のエネルギー固有値は２つの量子数 により指定される。
を主量子数、 を方位量子数、 を磁気量子数、と呼ぶ。
原子の軌道を表す場合には、量子数 をそのまま用いる代わりに のアルファベットを用いる方が一般的である。 とアルファベットの対応は以下の通り。原子の軌道を考える際には多くの場合 f 軌道までで十分である。現在知られている最も重い原子でも、基底状態では g, h などの電子軌道に電子が入ることはない。
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
| 文字 | s | p | d | f | g | h | … |
に対して であるから、この関数の角運動量の大きさ は であるが、 慣例として「角運動量の大きさが のとき」などという。
角運動量の大きさが であるとき、その 成分 が を満たすのは当然と思えるはずである。 のときも、不確定性により は完全にはゼロとならず、 となる。これが とはならず、 となる理由である。
波動関数 を全空間で積分すれば１になることから、 はそれぞれ、
&math( &\iiint|\varphi(\bm r)|^2d^3r=\\ &\int_0^\infty dr\int_0^\pi r\sin\theta\,d\theta\int_0^{2\pi}r\,d\phi\ |\varphi(\bm r)|^2=\\ &\underbrace{\int_0^\infty r^2{R_n{}^l}(r)|^2dr}_{\displaystyle=1}\ \underbrace{\int_0^\pi \sin\theta|\Theta(\theta)|^2 d\theta}_{\displaystyle=1}\ \underbrace{\int_0^{2\pi}|\Phi(\phi)|^2 d\phi}_{\displaystyle=1}=1 );
となるように正規化されている。
それぞれの正規直交性は、
&math( \int_0^\infty \big\{rR_n{}^l(r)\big\}^*\big\{rR_{n'}{}^l(r)\big\}\,dr=\delta_{nn'} );
&math( \int_0^\pi \sin\theta\ \Theta_l^m(\theta)^*\Theta_{l'}^m(\theta) d\theta=\delta_{ll'} );
&math( \int_0^{2\pi}\Phi_m(\phi)^*\Phi_{m'}(\phi) d\phi=\delta_{mm'} );
である。 に対する積分に 、 に対する積分に の重みが それぞれかかることに注意せよ。