スピントロニクス理論の基礎/5-3 の履歴(No.3)
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5-3 ゼロモード†
(5.12) 式の固有値方程式から得た (5.13), (5.15) の固有関数を用いて ゆらぎ を展開し、その係数を とする。
(5.18)
&math( \tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\eta_k(t)\varphi_k(z) );
これを (5.11) に代入すると、ラグランジアンを を変数として表せる。
(5.11)
&math( L_S=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}\left(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta\right)-2KS^2\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\tilde\bar\eta\tilde\eta\right\}\\ );
を、
&math( &\int \frac{d^3r}{a^3} \bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right) \left(\frac{1}{2}\dot\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\dot\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\ &=\frac{A}{a^3}\left(2\lambda\bar\eta_0\dot\eta_0+\sum_{k',k}\bar\eta_{k'}\dot\eta_k\delta(k'-k)\right) );
&math( &\int \frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{\lambda^2\nabla_z\bar{\tilde\eta}\nabla_z\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{-\lambda^2\bar{\tilde\eta}\nabla_z^2\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \bar{\tilde\eta}\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\right\}\tilde\eta\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right) \left(\frac{0}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\omega_k\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\ &=\frac{A}{a^3} \sum_{k',k}\omega_k\bar\eta_{{k'}}\eta_k{\delta(k'-k)}\\ );
などに注意して展開すると、
(5.19)
&math( L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+ \red{\frac{1}{2\lambda}}\sum_{\red{k'},k}\big\{i\hbar S(\bar\eta_{\red{k'}}\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_{\red{k'}}\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar\eta_{\red{k'}}\eta_k\big\}\red{\delta(k'-k)}\right] );
となる気がする?ただし、 は (5.8) ですでに出てきたがここで初めて定義される定数で、磁壁を構成しているスピンの総数である( は系の断面積)
に含まれる は が正規化されていなかったために現れた定数なので、正規化されてた からは出てこない。そのため全体を で括ると上記の が現れてしまう。
そもそも、(5.14) から (5.17) あたりでは は連続だったのに、 (5.18) の展開で を整数に限っているのがおかしい。 は次元を持つので、これを無視してしまうと次元すら狂ってしまう。
(5.18)'
&math( \tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\red{2\lambda\int dk}\eta_k(t)\varphi_k(z) );
とすれば、
(5.19)'
&math( L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+ \red{2\lambda\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k|\eta_k|^2\big\}\right] );
となって、これなら次元も問題ない。
ただ、これ以降の話が全部 で書かれているので、 果たして上記の解釈が正しいのかどうか、あまり自信を持てない・・・
θとの関係†
(5.4) に (5.18)' を代入すると、
(5.20)
&math( &\xi=\exp\left\{-u+i\phi_0+2\cosh\left[\frac{1}{2}\eta_0\varphi_0+\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ &\red{=}\exp\left\{-\frac{z-X}{\lambda}+i\phi_0+\eta_0+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ &\red{=}\exp\left\{-\frac{z-(X+\lambda\mathrm{Re}[\eta_0])}{\lambda}+i(\phi_0+\mathrm{Im}[\eta_0])+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ );
となって、普通に (5.20) が得られそうに思うのだが、 教科書では何故か等号が になっている。 どこかに近似が入っている???
(5.20) から、 の励起モードは、 係数 の実部が を、虚部が を、 それぞれシフトすることに対応している。
(5.21)
ゼロモードの存在により、これら および 自体が力学変数に昇格することになる。
励起モードの直交性 (5.16) により、ラグランジアンはこれら による部分と、それ以外の励起モード による部分とに分離できる。
&math( &\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0\\ &= \left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}-i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\}
- \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\}\\ &= \left\{\frac{X(t)}{\lambda}-i\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{X(t)}{\lambda}+i\phi_0(t)\right\}\\ &=\frac{2i}{\lambda}\left\{X(t)\dot\phi_0(t)-\dot X(t)\phi_0(t)\right\} );
途中で時間に対する全微分となる項 ( 定数×時間微分 となる項) は落とした。
(5.23)
&math( L_w^{(0)}=\frac{\hbar N_wS}{2\lambda}(\dot X\phi_0-X\dot\phi_0) );
&math( L_{sw}=\red{2\lambda}N_w\red{\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar|\eta_k|^2\big\} );
以上の結果から、磁壁の位置 と回転位相 は力学変数として振る舞うことが裏付けられた。これらの変数は「集団座標」である。
これらを含んだ形で書くと、5-2 で見た関係式は
(5.25)
と表せる。