線形代数Ｉ/行列式 の履歴(No.3)

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線形代数Ｉ

２次の行列式†

２次の正方行列 A の行列式は、

\det A=|A|=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc

であることを高校で学んだ。

ここで、 \left|\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right| と書く代わりに \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right| と書くことに注意せよ。

一般に n 次の正方行列に行列式が定義される。

例：３次の場合
\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-fha

n 次の行列式はこのように、 n 個の要素を掛け合わせたものに符号を付けて足し合わせた形で表せる。

１つの項の中に現れる n 個の因子には、 １つの行から、あるいは、１つの列から複数の要素が含まれることは無い。

  • aei は (1,1), (2,2), (3,3)
  • bfg は (1,2), (2,3), (3,1)
  • cdh は (1,3), (2,1), (3,2)
  • \vdots

必ず１つの行、１つの列から１つずつ取られていることを確認せよ。

３次の場合、このようにダブらずに項を作る作り方は上記の６つしか存在しない。

順列†

行列式を定義するのに「順列」を考える。

n 次の順列とは、 1\sim n の数字を任意の順に並べ替えて丸括弧でくくった物。

  • １次：(1)
  • ２次：(1 2), (2 1)
  • ３次：(1 2 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1), (2 1 3), (1 3 2)
  • \vdots

(１つの順列の中には同じ数字は複数回現れないことに注意せよ）

n 次の順列は n! 個存在する†

{}_nP_n=n! 個存在する。

1!=1 , 2!=2\cdot 1=2 , 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 , 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 , 5!=120 , 6!=720 , 7!=5040 , ・・・

文字で書くときは†

(p_1\ p_2\ p_3\ \cdots\ p_n) などと書く。

p_1, p_2, p_3, \cdots, p_n には 1\sim n の自然数が１回ずつ現れる。

転倒数†

p_i と p_j が、 i<j にもかかわらず p_i>p_j となるとき、 p_i,p_j は「転倒している」と言う。
（ (1\ 2\ 3\ \cdots\ n) の順を基準として、入れ替わっていると言う意味）

  • (1 2 3)　転倒はない → 転倒数 0
  • (1 3 2)　3 と 2 が転倒 → 転倒数 1
  • (2 3 1) 2 と 1, 3 と 1 が転倒 → 転倒数 2
  • (3 2 1)　3 と 2, 3 と 1, 2 と 1 が転倒 → 転倒数 3

間違いなく数えるには、それぞれの数字に対して、 自身よりも右にあって、自身よりも小さな数字の出現回数を数えて、 最後に全て加えればいい。

(2\ 5\ 1\ 3\ 7\ 4\ 6)
\phantom{(}1+3+0+0+2+0+0=6

順列の符号†

\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)=\left\{\begin{array}{rl}1&偶数\\-1&奇数\end{array}\right .

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