量子力学Ⅰ/波動関数の解釈/メモ の履歴(No.3)

Mathematica ソース†

上記干渉のアニメーションを表示する。

LANG:mathematica
anim = Table[
   Plot3D[
     Re[ Exp[I(Sqrt[(x - d)^2 + y^2] - t)]/((x - d)^2 + y^2) + 
         Exp[I(Sqrt[(x + d)^2 + y^2] - t)]/((x + d)^2 + y^2) ] /. d -> 20.25,
    {x, -30, 30}, {y, 0, 60}, 
    Mesh -> None, Mesh -> Automatic, ViewPoint -> 1.4 {1.2, 1, 1}, 
    PlotPoints -> 401, ImageSize -> Large, 
    PlotRange -> {{-30, 30}, {0, 60}, {-0.01, 0.01}}
  ], {t, 0, 2 Pi, 2 Pi/40}
];
Export["double-slit.gif", anim, "GIF"]

2015-02-23 時点において、この計算にはかなりの時間（１０分単位）がかかる。

解答：エネルギーの場合†

(1)

　&math( \overline E &=\iiint \psi_k^*(\bm r,t)\hat H\psi_k(\bm r,t)d\bm r\\ &=\iiint \psi_k^*(\bm r,t)E_k\psi_k(\bm r,t)d\bm r\\ &=E_k\iiint |\psi_k(\bm r,t)|^2d\bm r\\ &=E_k );

(2)

　&math( \sigma_E^2&=\iiint \psi_k^*(\bm r,t)(\hat H-\overline E)^2\psi_k(\bm r,t)d\bm r\\ &=\iiint \psi_k^*\Big(\bm r,t)(\hat H^2\psi_k(\bm r,t)-2\hat H\overline E\psi_k(\bm r,t)+\overline E^2\psi_k(\bm r,t)\Big)d\bm r\\ &=\iiint \psi_k^*\Big(\bm r,t)(E_k^2\psi_k(\bm r,t)-2E_k\overline E\psi_k(\bm r,t)+\overline E^2\psi_k(\bm r,t)\Big)d\bm r\\ &=(E_k-\overline E)^2\iiint |\psi_k(\bm r,t)|^2d\bm r\\ &=(E_k-\overline E)^2 );

上で見たように であるから、 すなわち となる。