量子力学Ⅰ/物理量の固有関数 の履歴(No.3)
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概要†
いくつかの物理量演算子の固有関数は量子力学的にも、数学的にも非常に重要な物となる。
ハミルトニアン†
演習:箱の中の自由粒子 = 正弦級数†
箱の中の自由粒子に対して、ハミルトニアンの固有関数は正弦波となることを見た。
ただし
この関数系は という境界条件の下で正規直交完全系を為す。
(1) のとき、 を示せ。
(2) のとき、 を示せ。
(3) のとき、
&math(f(x)=\begin{cases} x&(0<x<1/2)\\ x-1&(1/2<x<1) \end{cases});
を の形に展開せよ。
解説†
(3) の与式は下図で Target として示したように に不連続点を持つが、 このような関数に対しても上記の無限級数は収束する。
この様子を見るために、展開係数を までで打ち切った場合の関数形を示した。 次数が高くなるに従い、より正確に元の関数を表わしていることが分かる。
グラフからも分かるように、展開後の式は定義域を拡大すれば周期 の周期関数となる。
上記の関数系は を満たす周期 の周期関数について完全系をなすと考えることもできる。
完全な自由粒子 = 複素フーリエ変換†
自由粒子のハミルトニアン演算子に対する固有値問題は、
であるが、これは運動量演算子の固有値問題
が解ければ解けてしまうため、そちらで考えることにする。
運動量 = 複素フーリエ変換†
運動量に対する固有値問題は
すなわち、
と書けて、この固有関数は
である。ただしこの関数のノルムは
&math( \iiint |\varphi_{\bm k}(\bm r)|^2\,d\bm r &=\iiint |e^{i\bm k\cdot\bm r}|^2\,d\bm r\\ &=\iiint 1\,d\bm r\\ &=\infty\\ );
のように発散してしまい、規格化することができない。
直交関係についても
&math( \iiint \varphi_{\bm k'}^*(\bm r)\varphi_{\bm k}(\bm r)\,d\bm r &=\iiint e^{i(\bm k-\bm k')\cdot\bm r}\,d\bm r\\ &=\begin{cases} \infty&(\bm k'=\bm k)\\ 有限だが不定&(\bm k'\ne\bm k)\\ \end{cases} );
のように、あと一歩のところで(?)一筋縄ではいかない。
この発散や不定の原因は積分範囲が無限であることにあるため、 一旦積分範囲を有限にとって理解を深めることにする。
複素フーリエ展開†
の範囲で任意の整数 に対して
を定義すれば、
&math(\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)\,dx &=\frac{1}{\,l\,}\int_{-l/2}^{l/2}e^{i2\pi(m-n)x/l}\,dx\\ &=\delta_{nm});
このとき、同範囲で は正規直交完全形となり、任意の関数 を、
ただし、
と展開できる。
この展開は複素フーリエ級数展開と呼ばれ、広い範囲の応用がある。
実フーリエ級数展開†
複素フーリエ級数展開において、 が実関数、つまり である場合、 に注意して、
&math(f^*(x)&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_n^*(x)&\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_{-n}(x)&\\ &=\sum_{n'=-\infty}^\infty c_{-n'}^*\varphi_{n'}(x)\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=f(x));
より、
を得る。このとき、
&math(f(x) &=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_{-n}\varphi_{-n}(x)\Big)\\ &=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_n^*\varphi_n^*(x)\Big)\\ &=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big)\\ );
と置けば、
&math(\mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big) &=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\mathrm{Re}\Big[(a_n-ib_n)\Big(\cos (2\pi n x/l)+i\sin(2\pi n x/l)\Big)\Big]\\ &=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\Big(a_n\cos (2\pi n x/l)+b_n\sin(2\pi n x/l)\Big)\\ );
であるから、
&math(f(x) &=a_0\frac{1}{\sqrt{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\ );
と表せることになる。係数を調整して、
&math(f(x) &=a_0\sqrt{\frac{1}{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\ );
と書けば、ここに現れた は正規直交となるため*1係数に現れた の正体は、 に対する補正である、
のように係数を決定できる。
この展開は実フーリエ級数展開と呼ばれる。
フーリエ変換†
複素フーリエ展開において とすると であるから、 と置けば、
&math( f(x) &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}e^{i2\pi nx/l}\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sqrt{l\,}}{2\pi}c_ne^{in\Delta kx}\Delta k\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \bigl(\sqrt{l\,}c_k\bigr)e^{ikx}dk );
一方、
より、
そこで、 と書き直すと、
を得る。
から への変換はフーリエ変換と呼ばれる。