球対称井戸型ポテンシャル/メモ の履歴(No.3)

更新

球ベッセル関数の導出†

　&math( R''+\frac{2}{\rho}R'+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 );

は \rho\to\infty にて R''=-R となるから、 R(\rho)\propto\sin \rho または R(\rho)\propto\cos \rho となる。 そこで、

　&math( R(\rho)=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k} );

と置いて代入すれば、

　&math( R''&=\sum_{k=0}^\infty \left[ k(k+1)\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}

  • 2k\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}
  • \frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\right]\\ &=\sum_{k=2}^\infty (k-2)(k-1)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-\sum_{k=1}^\infty 2(k-1)\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-\sum_{k=0}^\infty\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\\ );

　&math( \frac{2}{\rho}R'&=\sum_{k=0}^\infty \left[

  • 2k\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}
  1. 2\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}\right]\\ &=-\sum_{k=2}^\infty 2(k-2)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}+\sum_{k=1}^\infty 2\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\ );

　&math( \left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R&=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-l(l+1)\sum_{k=2}^\infty \frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k} );

\rho^0 については自動的に満たされる。

\rho^{-1} については、

　 2(k-1)c_{k-1}-2c_{k-1}-l(l+1)s_{k-2}=0

　 -2(k-1)s_{k-1}+2s_{k-1}-l(l+1)c_{k-2}=0

すなわち、

　 c_0=\frac{l(l+1)}{-2}s_{-1}=0

　 s_0=\frac{l(l+1)}{2}c_{-1}=0

k\ge 2 については、

\frac{\sin\rho}{\rho^k} の係数より、

　&math( &(k-2)(k-1)s_{k-2}+2(k-1)c_{k-1}-\cancel{s_k}\\ &\hspace{1cm} -2(k-2)s_{k-2}-2c_{k-1}+\cancel{s_k}-l(l+1)s_{k-2}\\ &=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}s_{k-2}+2(k-2)c_{k-1}\\ &=0 );

すなわち、

　&math( 2(k-2)c_{k-1}=\{l(l+1)-(k-3)(k-2)\}s_{k-2} );　（ k\ge 2 ）

あるいは、

　&math( 2kc_{k+1}=\{l(l+1)-(k-1)k\}s_k );　（ k\ge 0 ）

\frac{\cos\rho}{\rho^k} の係数より、

　&math( &(k-2)(k-1)c_{k-2}-2(k-1)s_{k-1}-\cancel{c_k}\\ &\hspace{1cm}-2(k-2)c_{k-2}+2s_{k-1}+\cancel{c_k}-l(l+1)c_{k-2}\\ &=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2}-2(k-2)s_{k-1}\\ &=0 );

すなわち、

　&math( 2(k-2)s_{k-1}=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2} );　（ k\ge 2 ）

あるいは、

　&math( 2ks_{k+1}=\{(k-1)k-l(l+1)\}c_k );　（ k\ge 0 ）

となる。

得られた２つの漸化式は k=0 で意味をなさないから、 s_1,c_1 は自由に選べて、 k\ge 1 において、

　&math( c_{k+1}=\frac{l(l+1)-(k-1)k}{2k}s_k );

　&math( s_{k+1}=\frac{(k-1)k-l(l+1)}{2k}c_k );

となる。 k\to\infty にて s_k\ne 0,c_k\ne 0 であれば、

　 c_{k+1}\sim-\frac{k}{2}s_k

　 s_{k+1}\sim \frac{k}{2}c_k

となって明らかに発散するから、この漸化式は k=l+1 で打ち切られる必要がある。

l=0 のとき c_2=s_2=0 より、

　 R=\frac{1}{\rho}(s_1\sin\rho+c_1\cos\rho)

であるが、 c_1\ne 0 では \rho=0 で発散してしまうため、 c_1=0 であり、

　 j_0(\rho)\propto\frac{\sin\rho}{\rho}

l=1 のとき、 c_2=s_1 、 s_2=-c_1 より、

　&math(R=s_1\left(\frac{\sin\rho}{\rho}+\frac{\cos\rho}{\rho^2}\right)+ c_1\left(\frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2}\right) );

であるが、 s_1\ne 0 では \rho=0 で発散してしまうため、 s_1=0 であり、

　&math(j_1(\rho)\propto \frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2} );

球ベッセル関数†

LANG:mathematica
MySphericalBesselJ[l_, x_] := 
  Nest[D[#, x]/x &, Sin[x]/x, l] x^l // FullSimplify
Table[MySphericalBesselJ[l, x], {l, 0, 4}]


&math( &\Bigg\{\frac{\sin (x)}{x},\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^2},

  • \frac{\left(x^2-3\right) \sin (x)+3 x \cos (x)}{x^3},\\ &\hspace{5mm}\frac{3 \left(2 x^2-5\right) \sin (x)-x \left(x^2-15\right) \cos (x)}{x^4},\frac{5 x \left(2 x^2-21\right) \cos (x)+\left(x^4-45 x^2+105\right) \sin (x)}{x^5}\Bigg\} );

球ベッセル関数のグラフ†

LANG:mathematica
Plot[
 Join[
   SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r], 
   {1/r, -1/r}
 ] // Evaluate, 
 {r, 0, 40}, PlotRange -> {-0.3, 1.05}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, 
 PlotStyle -> {Thick, Thick, Thick, Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, 
]
 
Plot[Join[
  SphericalBesselJ[{1, 5, 9}, (Pi r)], {1/(Pi r), -1/(Pi r)}] // 
  Evaluate, {r, 0, 16}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, 
  PlotStyle -> {Thick, Thick, 
  Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, 
  PlotRange -> {-0.3, 0.5}, AspectRatio -> 0.4]

Plot[
 r^2 SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r]^2 // Evaluate, 
 {r, 0, 40}, PlotRange -> Full, ImageSize -> 800, 
 BaseStyle -> 20, PlotStyle -> Thick, Filling->Axis]
Counter: 4935 (from 2010/06/03), today: 4, yesterday: 4