量子力学Ⅰ/電子の波動方程式 の履歴(No.3)

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波動方程式の必要性†

電子の波動方程式を考えなければならない理由を考える。

電子の粒子性†

電子は水素原子の約1/1000の重さを持つ粒子として振る舞う。 JJ トムソンの実験などでその粒子的な性質は明らかである。

電子の波動性†

電子線回折などによって、電子が回折現象を起こすこと、加速度により波長が異なること、などが性ｍされた。

波動を表わす関数†

速度 $v$ で移動する関数†

f(x-x_0) は、 f(x) を x の正方向に x_0 だけ移動した関数になる。

f(x,t)=f(x-vt,0) は f(x,0) を時刻 t において x の正方向に vt だけ移動した関数、すなわち、 f(x,0) の関数が形を変えずに x の正方向に速度 v で伝播する関数になる。

位相速度 $v$ で伝播する波（一次元）†

f(x,0)=\cos(2\pi x/\lambda)=\cos(kx) と置けば、これは波長 \lambda 、 波数 k=2\pi/\lambda の正弦波。

f(x,t)=f(x-vt,0)=\cos(2\pi (x-vt)/\lambda) は、波長 \lambda の正弦波が速度 v で伝播する関数。

wave-function.gif

波数 k と角振動数 \omega で書けば、 f(x,t)=f(x-vt)=\cos(kx-\omega t) ただし、 k=2\pi/\lambda 、 \omega/k=v である。

位相速度 $v$ で伝播する平面波（三次元）†

３次元空間で定義された f(\bm x,t)=\cos(k x-\omega t) という関数は x 軸方向に進む平面波を表わす。

以下では、３次元空間内で任意の方向に進む平面波を考える。

|\bm e|=1 のとき、 \bm e\cdot\bm x は \bm x の \bm e 方向成分の長さ

\bm e\cdot\bm x=d という方程式は、 \bm e に平行で、原点から \bm e 方向に \bm d だけ離れた平面を表わす方程式

したがって、 f(\bm x)=\cos(2\pi\bm e\cdot\bm x) は、 \bm e 方向に波長 1 の正弦波で、 \bm e に垂直方向には一定値を取る平面的な波を表わす。 （下図は二次元の場合）

2d-wave.jpg

\bm k\cdot\bm x=|\bm k|\bm e_{\bm k}\cdot x と書けるから、 これは \bm x の \bm k 方向成分に、 |\bm k| をかけた値になる。

すなわち、 f(\bm x)=\cos(\bm k\cdot\bm x)=\cos(|\bm k|\bm e\cdot\bm x) は、 \bm e 方向に波長 \lambda=2\pi/\bm k 、波数 |\bm k| の正弦波を表わす。

さらに、 f(\bm x,t)=\cos(\bm k\cdot\bm x-\omega t) とすれば、 f(\bm x,t)=\cos(k\{\bm e_{\bm k}\cdot\bm x-(\omega/k) t\}) より、 波数 \bm k 、周期 \omega 、速度(位相速度) v=\omega/k で伝播する平面波を表わす。

演習：波動方程式（電磁波の場合）†

平面波 \bm E(\bm x,t)=\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm x-\omega t) が電磁波の波動方程式

\nabla^2\bm E=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2} \bm E

を満たすことを示したい。

(1) \nabla^2 \bm E=-k^2\bm E となることを示せ

(2) \frac{\PD^2}{\PD t^2} \bm E=-\omega^2\bm E となることを示せ

(3) \nabla^2\bm E=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2} \bm E となるためには k と \omega の間にどのような関係が必要か

(4) より一般に、任意の関数 f(x), g(x) に対して、 \bm E(\bm x,t)=\bm E_1 f(\bm k\cdot\bm x+\omega t)+\bm E_2 g(\bm k\cdot\bm x-\omega t) が \nabla^2\bm E=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2} \bm E を満たすことを示せ

電子の波動方程式†

電子の満たすべき波動方程式はどのようなものであろうか？

分かっていることは、

  • 運動エネルギーと周期の関係　 E=h\nu=\hbar\omega
  • 運動量と波数の関係　　　　　 \bm p=\hbar\bm k
  • 運動エネルギーと運動量の関係 E=\frac{p^2}{2m}
    　　　　 \omega,\bm k で書き直せば、 \omega=\frac{\hbar k^2}{2m}

波を \phi(\bm x,t)=\phi_0\cos(\bm k\cdot\bm x-\omega t) と置いてみると、

\nabla^2\phi=-k^2\phi_0\cos(\bm k\cdot\bm x-\omega t)

\frac{\PD}{\PD t}\phi=-\omega\phi_0\sin(\bm k\cdot\bm x-\omega t)

となって、波動方程式を組み立てられない・・・

\cos や \sin が微分により形が変わってしまうのが問題。

微分で形の変わらない関数を使えば波動方程式が作れそう。→ \phi(\bm x,t)=\phi_0e^{i(\bm k\cdot\bm x-\omega t)} と置く

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