スピントロニクス理論の基礎/9-1B の履歴(No.4)
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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2)†
不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正†
(9.28)
&math( &\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
- i \textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^< );
この補正が出てくる理由が分からない。
(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・
ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは
- (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
- (8.119) の不純物平均
- (8.123) の実部は無視できるのか
くらい?
- (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
- (9.5) 式の を で展開した形に似ている
- それならなぜ (9.28) 式の は でないのか?
- この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった?
あたりが疑問。
(9.4) 式の高次項ではない†
(9.4) 式は で展開しているので、高次項には の2次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に は1つしか入っていない。
(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている†
(8.121) より、
&math( g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega}
- n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots );
この1項目と2項目とを掛け合わせると、 の項が出る。
&math( \left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^< );
にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。
そもそも、こういう項は や の形になるから、どうも話が違う。
これらの過程は (9.27) の に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。
なぜ (9.28) 式の は でないのか†
上下に耳が生える過程を組み込むため?
これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった?†
たぶんそう。
どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。
上で見たとおり、(9.28) の項は の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 1次の項を2つ掛けた物だ。
8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。
不純物平均の前に戻ってみる†
と考えるのをやめて、
として、8-10、8-11 を見直してみる。
が入っているため、不純物平均を取る前までを考えると、 として、
(8.117) は
&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^a= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^a+ \int \frac{\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} g_{0\bm k,\omega}^a v(\bm q,\Omega) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a );
(8.145) は
&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<
- \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\big[
g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a
\big] );
となる。
ポテンシャルを3回含む項を評価する†
この2つの式を使ってポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。
それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^< = \underline{2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<}
- \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
&g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a\\
&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'} );
&math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\Big[
&g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega) \Big( \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<} +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[ g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
&\hspace{9.8cm}
+g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} \Big)\\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega) \Big( \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} \Big)
\Big] );
&math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} );
同様にして、
&math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\
& \Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q,\bm k'} );
したがって、
0次:
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(0)} = \, & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<\\ = & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'} f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r)\\ );
1次:
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(1)} = \, &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^< \\
- &g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^a \\
=\,
&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) \\
- &f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \\
=\,& v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) \Big[
g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r)
- f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] );
2次:
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(2)} = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^a
\Big] );
3次:
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(3)} = );
&math( \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);
目的の項はどれか?†
3回出てくる を展開する際、 と のどちらを取るかで様々な項が出るが、 不純物平均により は複数の打ち消し合う の組を作るように取らないとゼロになるため、 と が両方出てくる項は3次が最低次になる。
そのような3次の項は、
の3つの場合が考えられるが、このうち1番目と3番目は上の (9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている で見たように (9.26) に含まれている。
そこで、今取り入れたいのは2番目の形で、
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = );
&math( \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);
である。
不純物平均を入れる†
不純物平均により が要求されるため、
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = );
&math( \frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =
);
&math( \frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[
&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =
);
下線部は打ち消し合うため、
&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = );
&math( \frac{n_iv_i^2}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm q} \Big[
-&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ -&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);
この式の変数を適当に書き換えると (9.29) と似た式が出てくる。
g0 を g に書き換える†
そして、その を に書き換えると (9.29) になる。
ただ、恐らく教科書の式では上記の の因子が抜けている。
ファインマン図の意味†
上と下は と相互作用する前後のωの異なる部分で、 その間に打ち消し合う2つの q があることを表す図になっているわけか。
補正項を評価する†
ようやく教科書を読み進められる。
(9.29)
&math( \rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)\,&=
- i\textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int\frac{d\omega}{2\pi} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{i\Omega t} \phi(\bm q,\Omega) n_iv_i^2 \\ & \times \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} + f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} - f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r \Big] );
和の部分を略記すると、
&math( \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\
- f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^a\, g_{\bm k_1-}^a\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\
- f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^r\, g_{\bm k +}^r \Big] );
括弧内は の項が支配的で、 や の項は小さいと書かれているが、 まだ納得はいっていない。
恐らく (9.8-1) と (9.8-2) との比較と同様の話になるのだと思うけれど、後で見直す。
支配的と言われる項は、
(9.30)
&math( &\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)-f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \Omega f'(\omega) \, g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} \Omega \, g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\, g_{\bm k +,0+}^a \\ & = \Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\ \\ & = \Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a I_{\bm q,\Omega} );
となって、これは (9.8) に の掛かった項となる。
したがって、
(9.32)
&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
- \textcolor{red}{\frac{e^{2}}{a^3}} \nu(0) \sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega)\Big(1-i\Omega\tau(1+n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega})\Big) );
(9.33)〜(9.37) は (9.8) のところで既にやった。
というか、まるっきり天下りで与えられていた結果の説明がこんなところに出てきたか、という感じ。
の1次までで打ち切るという近似の物理的意味についてのコメントだけ拾いたい。
&math( \varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}=\varepsilon_{\bm k}+\left[2\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+ \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{q}{2}\right)^2\right]\equiv \varepsilon_{\bm k}+\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}} );
を使うと、
(9.33)
&math( g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r =g_+^r &=\frac{1}{\hbar(\omega+\Omega/2)-\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{\hbar\omega+\hbar\Omega/2-\varepsilon_{\bm k}-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{1/g_+^r-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2}\\ &=g_+^r\frac{1}{1+g_+^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)}\\ );
(以下勉強中)