量子力学Ⅰ/一次元の散乱現象 の履歴(No.4)

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障壁よりもエネルギーが高い場合の散乱†

先に行った一次元の箱形ポテンシャルによるトンネル現象で行った計算は、 障壁よりも粒子のエネルギーが高い場合にもそのまま適用できる。

scatter-wall.png scatter-well.png

障壁よりも粒子のエネルギーが高い場合、 障壁内部の波動関数は外と同様に振動的になるが、 ポテンシャルエネルギーの分だけ運動エネルギーが減り、波長は長くなる。

同様に、障壁が負のエネルギーを持つ場合、 すなわち井戸になっている場合の評価もそのまま行える。 この場合にはポテンシャルエネルギーの分だけ運動エネルギーは増え、 井戸内の波長は外部に比べて短くなる。

計算上は \kappa=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)} とした部分が虚数となるから、

　 \kappa\to ik'

　 \sinh\kappa a\to -i\sin k'a

　 \cosh\kappa a\to \cos k'a

などと書き換えると理解しやすい。

このとき、

　 |T|^2=\frac{1}{1+Y^2}

　 Y^2=\frac{V_0^2}{4\epsilon|V_0-\epsilon|}\sin^2 k'a

であるから、 \sin k'a=0 すなわち

　 \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(\varepsilon-V_0)}a=n\pi 　 n=0,1,2,\dots

のとき |T|=1 すなわち 100% 透過する。

この条件の意味は、

　 k'\cdot 2a=2n\pi

と書きなおすと良くわかる。 この条件は障壁中を往復するだけの距離進むと位相が元に戻る条件になっている。 このとき起きる現象は V_0>0 の場合と V_0<0 の場合とで少し異なる。

  • V_0>0 の障壁の場合には
    1. 井戸の内部を進む波が右端で反射する際には位相が反転する
    2. 井戸の内部を戻る波は左端で元の波と反対の位相を持つ
    3. 入射波が井戸の左端で反射する際には位相は反転しない
    4. ii. の波と iii. の波が打ち消しあう
  • V_0<0 の井戸の場合には
    1. 井戸の内部を進む波が右端で反射する際には位相は変化しない
    2. 井戸の内部を戻る波は左端で元の波と同じ位相を持つ
    3. 入射波が井戸の左端で反射する際に位相が反転する
    4. ii. の波と iii. の波が打ち消しあう

scatter-vs-v0.gif


scatter-vs-v0.png

演習：ポテンシャルエネルギーの異なる領域への入射†

デルタ関数による散乱†


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