量子力学Ⅰ/波動関数の解釈/メモ の履歴(No.4)

更新

目次†

概要†

量子力学Ⅰ/波動関数の解釈 に関するメモです。

測定される物理現象†

Mathematica ソース†

上記干渉のアニメーションを表示する。

LANG:mathematica
anim = Table[
   Plot3D[
     Re[ Exp[I(Sqrt[(x - d)^2 + y^2] - t)]/((x - d)^2 + y^2) + 
         Exp[I(Sqrt[(x + d)^2 + y^2] - t)]/((x + d)^2 + y^2) ] /. d -> 20.25,
    {x, -30, 30}, {y, 0, 60}, 
    Mesh -> None, Mesh -> Automatic, ViewPoint -> 1.4 {1.2, 1, 1}, 
    PlotPoints -> 401, ImageSize -> Large, 
    PlotRange -> {{-30, 30}, {0, 60}, {-0.01, 0.01}}
  ], {t, 0, 2 Pi, 2 Pi/40}
];
Export["double-slit.gif", anim, "GIF"]

2015-02-23 時点において、この計算にはかなりの時間（１０分単位）がかかる。

確率密度の時間変化†

全確率の保存†

線形代数を用いた証明†

シュレーディンガー方程式を変形すれば、

　 \frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=(-i\hat H/\hbar)\psi(\bm r,t)

と書ける。したがって、 \Delta t が小さく t から t+\Delta t の間に \hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t) が変化しないと見なせるとき、

　 \psi(\bm r,t+\Delta t)=e^{-i\Delta t\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)/\hbar}\psi(\bm r,t)

と表せることになる。

\hat H がエルミートであれば -\Delta t\hat H/\hbar もエルミートであるから、

　 \hat U=e^{-i\Delta t\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)/\hbar}

の部分はユニタリーになる。→ [ H がエルミート行列の時、 e^{iH} がユニタリーになることの証明]

ユニタリー変換の性質より、

　 |\psi(\bm r,t+\Delta t)|^2=|\hat U\psi(\bm r,t)|^2=|\psi(\bm r,t)|^2

である。

この等式が任意の時刻に成り立つことから、シュレーディンガー方程式に従った波動関数の時間発展により、 確率密度は保存される*1時間発展演算子はユニタリーであると言っても良い。

*1 時間発展演算子はユニタリーであると言っても良い
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