スピントロニクス理論の基礎/5-1 の履歴(No.5)

定常解†

(4.43) の静止磁壁解は、以下に示すように として与えられる。

&math( &\cos\theta=\frac{1-|\xi|^2}{1+|\xi|^2}=\frac{|\xi|^{-1}-|\xi|}{|\xi|^{-1}+|\xi|}\\ &=\frac{|e^{+u(z,t)-i\phi_0}|-|e^{-u(z,t)+i\phi_0}|}{|e^{+u(z,t)-i\phi_0}|+|e^{-u(z,t)+i\phi_0}|}\\ &=\frac{e^{+u(z,t)}-e^{-u(z,t)}}{e^{+u(z,t)}+e^{-u(z,t)}}=\tanh u(z,t)\\ &=\tanh\frac{z-X}{\lambda}\\ );

&math( &\sin\theta=\frac{2|\xi|}{1+|\xi|^2}=\frac{2}{|\xi|^{-1}+|\xi|}=\frac{1}{\cosh \frac{z-X}{\lambda}} );

&math( &e^{i\phi}=\frac{\xi}{|\xi|}=\frac{e^{-u(z,t)+i\phi_0}}{|e^{-u(z,t)+i\phi_0}|}\\ &=\frac{e^{-u(z,t)+i\phi_0}}{e^{-u(z,t)}}=e^{i\phi_0}\\ &\therefore \phi=\phi_0+2n\pi );

定常解からのズレ†

今、系がこの定常解から各点で 倍だけずれたとする。

(5.4)

このとき、

&math( &\PD\xi/\PD t=(\PD u/\PD t)\xi+(\PD \eta/\PD t)\xi=(\PD \eta/\PD t)\xi\\ &\PD\xi/\PD x=(\PD u/\PD x)\xi+(\PD \eta/\PD x)\xi=(\PD \eta/\PD x)\xi\\ &\PD\xi/\PD y=(\PD u/\PD y)\xi+(\PD \eta/\PD y)\xi=(\PD \eta/\PD y)\xi\\ &\PD\xi/\PD z=(\PD u/\PD z)\xi+(\PD \eta/\PD z)\xi=(1+\PD \eta/\PD z)\xi\\ );

をまとめて、

(5.5)

&math( &\PD_\mu\,\xi=(\delta_{\mu,\red 3}+\PD_\mu \eta)\xi );

実際には である(?)

ズレの成分を実部と虚部に分けて

と書くと、

&math( \bar\xi\dot\xi-\dot{\bar\xi}\xi&=\bar\xi (\dot \eta_R+i\dot\eta_I)\xi-(\dot \eta_R-i\dot\eta_I)\bar\xi\xi\\ &=2i\dot\eta_I|\xi|^2 );

&math( \lambda^2|\nabla_i\xi|^2&=|\delta_{i,3}+\lambda\nabla_i\eta_R+i\lambda\nabla_i\eta_I|^2|\xi|^2\\ &=[(\delta_{i,3}+\lambda\nabla_i\eta_R)^2+(\lambda\nabla_i\eta_I)^2]|\xi|^2\\ &=(\delta_{i,3}+2\delta_{i,3}\lambda\nabla_i\eta_R+(\lambda\nabla_i\eta_R)^2+(\lambda\nabla_i\eta_I)^2]|\xi|^2\\ &=[\delta_{i,3}(1\red+2\lambda\nabla_i\eta_R)+\lambda^2|\nabla_i\eta|^2]|\xi|^2\\ );

と表せる。 の２次まで展開した表式

(5.7)

&math( &\frac{|\xi|^2}{1+|\xi|^2}=\frac{e^{-2u+2\eta_R}}{1+e^{-2u+2\eta_R}}=\frac{1}{e^{2u-2\eta_R}+1}\\ &=\frac{1}{e^{2u}(1-2\eta_R+2\eta_R^2+\dots)+1}\\ &=\frac{1}{e^{2u}+1}\frac{1}{1+\frac{e^{2u}(-2\eta_R+2\eta_R^2+\dots)}{e^{2u}+1}}\\ &=\frac{1}{e^{2u}+1}\left\{1-\frac{e^{2u}(-2\eta_R+2\eta_R^2+\dots)}{e^{2u}+1}+\left(\frac{e^{2u}(-2\eta_R+\dots)}{e^{2u}+1}\right)^2+\dots\right\}\\ &=\frac{1}{e^{2u}+1}+\frac{e^{2u}}{(e^{2u}+1)^2}\left({+2\eta_R-2\eta_R^2+\frac{4e^{2u}\eta_R^2}{e^{2u}+1}}+\dots\right)\\ &=\frac{1}{e^{2u}+1}+\frac{1}{(e^{u}+e^{-u})^2}\left({+2\eta_R+\frac{(-2e^{2u}-2+4e^{2u})\eta_R^2}{e^{2u}+1}}+\dots\right)\\ &=\frac{1}{e^{2u}+1}+\frac{1}{2\cosh^2 u}\left({\eta_R+\frac{(e^{2u}-1)\eta_R^2}{e^{2u}+1}}+\dots\right)\\ &=\frac{1}{e^{2u}+1}+\frac{1}{2\cosh^2 u}\left({\eta_R+\eta_R^2\tanh u}+\dots\right)\\ );

&math( &\frac{|\xi|^2}{(1+|\xi|^2)^2}=\frac{1}{(e^{+u-\eta_R}+e^{-u+\eta_R})^2}=\frac{1}{4\cosh^2(u-\eta_R)}\\ &=\frac{1}{4\cosh^2 u}+\frac{\sinh u}{2\cosh^3 u}\eta_R+\frac{3\sinh^2 u}{4\cosh^4 u}\eta_R^2-\frac{\cosh u}{4\cosh^3 u}\eta_R^2+\dots\\ &=\frac{1}{4\cosh^2 u}\left(1+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(3\frac{\sinh^2 u}{\cosh^2 u}-1\right)+\dots\right)\\ &=\frac{1}{4\cosh^2 u}\left(1+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right) );

および、

&math( &\frac{1-|\xi|^2}{1+|\xi|^2}=\frac{1-e^{-2u+2\eta_R}}{1+e^{-2u+2\eta_R}}\\ &=\tanh(u-\eta_R)\\ &=\tanh u-\frac{1}{\cosh^2 u}\left(\eta_R+\eta_R^2\tanh u\right) );

&math( &\left(\frac{1-|\xi|^2}{1+|\xi|^2}\right)^2=\tanh^2(u-\eta_R)\\ &=\frac{1}{\cosh^2 u}\left(\sinh^2 u-2\eta_R\tanh u-\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right)\\ &=\frac{1}{\cosh^2 u}\left(\cosh^2 u-1-2\eta_R\tanh u-\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right)\\ &=1-\frac{1}{\cosh^2 u}\left(1+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right) );

を使うと、(5.3) は

&math( L_S=&\int\frac{d^3r}{a^3}\Bigg[ i\hbar S\,2i\dot\eta_I\frac{|\xi|^2}{1+|\xi|^2}

• \frac{2KS^2}{(1+|\xi|^2)^2}\left\{ \Big[(1+2\lambda\nabla_z\eta_R)+\lambda^2|\nabla\eta|^2\Big]|\xi|^2+\frac{(1-|\xi|^2)^2}{4} \right\} \Bigg]\\ =&\int\frac{d^3r}{a^3}\Bigg[
• \hbar S\,2\dot\eta_I\left\{\frac{1}{e^{2u}+1}+\frac{1}{2\cosh^2 u}\left({\eta_R+\eta_R^2\tanh u}+\dots\right)\right\}\\ &\hspace{1cm}-2KS^2\Bigg\{ \Big[(1+2\lambda\nabla_z\eta_R)+\lambda^2|\nabla\eta|^2\Big]\frac{1}{4\cosh^2 u}\left(1+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right)\\ &\hspace{2.5cm}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4\cosh^2 u}\left(1+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right) \Bigg\} \Bigg]\\ =&\int\frac{d^3r}{a^3}\Bigg[\,\frac{-\hbar S\dot\eta_I}{\cosh^2 u}\left({\eta_R+\eta_R^2\tanh u}+\dots\right)\\ &\hspace{1cm}-2KS^2\Bigg\{\frac{1}{4}+ \frac{\lambda^2|\nabla\eta|^2}{4\cosh^2 u}\left(1+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right)\\ &\hspace{3cm}+\left(\frac{\lambda}{2\cosh^2 u}\nabla_z\eta_R+\frac{\lambda\sinh u}{2\cosh^3 u}\nabla_z(\eta_R^2)+\left(\frac{\lambda}{3\cosh^3 u}-\frac{\lambda}{2\cosh^4 u}\right)\nabla_z(\eta_R^3)+\dots\right) \Bigg\} \Bigg]\\ =&\int\frac{d^3r}{a^3}\Bigg[\,\frac{-\hbar S\dot\eta_I}{\cosh^2 u}\left({{\color{blue}\eta_R}+\eta_R^2\tanh u}+\dots\right)\\ &\hspace{1cm}-2KS^2\Bigg\{{\color{blue}\frac{1}{4}}+ \frac{\lambda^2|\nabla\eta|^2}{4\cosh^2 u}\left({\color{blue}1}+2\eta_R\tanh u+\eta_R^2\left(2-\frac{3}{\cosh^2 u}\right)+\dots\right)\\ &\hspace{3cm}\red{-\left(-\frac{\tanh u}{\cosh^2 u}\eta_R+\Big(???\Big)\eta_R^2+\Big(???\Big)\eta_R^3+\dots\right)} \Bigg\} \Bigg]\\ );

に比例する項は、ラグランジアンの時間積分（作用）に定数項しか与えないため落とした。( が時間に依らないことに注意)

一見、 や 等の項も落とせそうに思えるが、 その係数に含まれる に 依存性があるため、部分積分の結果が残ってしまう。

この、 を含む項から出た 赤く塗った項 以外から、 最低次の 青く塗った項のみ を取り出せば (5.8) が得られる。

今のところ 赤く塗った項 の扱いが疑問のまま。

それと、上で の項まで残した意味もよく分からない。 途中で がごっそり消えたのは の関係からであって、展開しなくても確認できた部分。

実際、展開前の変形で次の形まで持って行ける。

&math( L_S=&\int\frac{d^3r}{a^3}\Bigg[ i\hbar S\,2i\dot\eta_I\frac{|\xi|^2}{1+|\xi|^2}

• 2KS^2\left\{ \frac{1}{4}+\Big(2\lambda\nabla_z\eta_R+\lambda^2|\nabla\eta|^2\Big)\frac{|\xi|^2}{(1+|\xi|^2)^2} \right\} \Bigg]\\ );

上ではこれに対して、

• は の１次まで
• は への依存性を完全に無視 (０次まで)
• の存在を無視（０次項はゼロなので、０次近似と言えなくもない）

という近似をしてしまった。

赤く塗った項 の扱いがちゃんと分かると２次まで展開した意味が見えてくるのだろうか？

スピン波†

の部分が数学的に美しくないので何とかしたいが、 の係数があるために部分積分が使えず手に負えない。

そこで、新たな変数 を導入する。

(5.9)

これを使うと、

(5.10)

&math( \frac{\PD\eta}{\PD x_\mu}=(2\cosh u)\frac{\PD\tilde\eta}{\PD x_\mu} );　　( )

&math( \frac{\PD\eta}{\PD z}=(2\cosh u)\frac{\PD\tilde\eta}{\PD z}+\frac{2\sinh u}{\lambda}\tilde\eta );

&math( &\frac{|\nabla_z\eta|^2}{4\cosh^2 u}=\left|\nabla_z\tilde\eta+\frac{\tanh u}{\lambda}\tilde\eta\right|^2\\ &=\left(\nabla_z\tilde\eta_R+\frac{\tanh u}{\lambda}\tilde\eta_R\right)^2

1. \left(\nabla_z\tilde\eta_I+\frac{\tanh u}{\lambda}\tilde\eta_I\right)^2\\ &=|\nabla_z\tilde\eta|^2+\frac{2\tanh u}{\lambda}\big\{(\nabla_z\tilde\eta_R)\tilde\eta_R+(\nabla_z\tilde\eta_I)\tilde\eta_I\big\}+\left(\frac{\tanh u}{\lambda}|\tilde\eta|\right)^2\\ &=|\nabla_z\tilde\eta|^2+\frac{\tanh u}{\lambda}\nabla_z\big\{\tilde\eta_R^2+\tilde\eta_I^2\big\}+\left(\frac{\tanh u}{\lambda}|\tilde\eta|\right)^2\\ &=|\nabla_z\tilde\eta|^2+\frac{\tanh u}{\lambda}\nabla_z\big(|\tilde\eta|^2\big)+\left(\frac{\tanh u}{\lambda}|\tilde\eta|\right)^2\\ );

であるから、ラグランジアンは

(5.11)

&math( L_S&=-4\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}(\tilde\eta_R\dot{\tilde\eta}_I)

• 2KS^2\int\frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2|\nabla\tilde\eta|^2+\lambda\tanh u\nabla_z(|\tilde\eta|^2)+(\tanh^2 u)|\tilde\eta|^2\right\}\\ &=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}(\tilde\eta+\bar{\tilde\eta})(\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}})\\ &\hspace{5mm}-2KS^2\int\frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2|\nabla\tilde\eta|^2-\nabla_z(\lambda\tanh u)|\tilde\eta|^2+(\tanh^2 u)|\tilde\eta|^2\right\}\\ &=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta+\tilde\eta\dot{\tilde\eta}-\bar{\tilde\eta}\dot{\bar{\tilde\eta}})\\ &\hspace{5mm}-2KS^2\int\frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2|\nabla\tilde\eta|^2-\frac{1}{\cosh^2 u}|\tilde\eta|^2+\frac{\sinh^2 u}{\cosh^2 u}|\tilde\eta|^2\right\}\\ &=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}\left(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta+\frac{1}{2}\frac{\PD(\tilde\eta^2)}{\PD t}-\frac{1}{2}\frac{\PD(\bar{\tilde\eta}^2)}{\PD t}\right)\\ &\hspace{5mm}-2KS^2\int\frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2|\nabla\tilde\eta|^2-\frac{1}{\cosh^2 u}|\tilde\eta|^2+\frac{\cosh^2 u-1}{\cosh^2 u}|\tilde\eta|^2\right\}\\ &=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}\left(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta\right)\\ &\hspace{5mm}-2KS^2\int\frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2|\nabla\tilde\eta|^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)|\tilde\eta|^2\right\}\\ );

と書き換えられる。

教科書では「時間に対する部分積分により」対称化したと書いてあるが、 ここでは時間積分は現れないのでちょっと用語がおかしい。 上で落とした項はラグランジアンの時間積分を考えたとき、 の端点のみで決まる定数項を与えるので落とした と言うのが正しいのではないか。

(5.8) と比べると に対して「素性の良い」形になった。

これは、 が「良い素性の励起モード」であることを表す（？）

これを「スピン波」と呼ぶ。