歯車について勉強する

謝辞†

以下のサイトを参考にさせていただきました。大変感謝しています。

• 歯車好きの元クルマエンジニア さんの はてなブログ 「歯車のハナシ」
  https://involutegearsoft.hatenablog.com/
  
  
• KHK 小原歯車工業株式会社 さんのホームページ
  https://www.khkgears.co.jp/gear_technology/guide_info.html
  
  
• chromia さんの Qiita ページ 「歯車を描く」
  https://qiita.com/chromia/items/629311346c80dfd0eac7
  

成果物†

いろんな歯車の歯形を計算して描画できるようになりました。

こちらは Fusion360 用の自作スクリプト で生成したもの:

下図ではスライダーを動かすことでいろいろな歯車を描くことができます。
マウスホイールで拡大・縮小、画面のドラッグでスクロールが可能です。

歯車を設置する際の軸間距離などを求めるための計算機はこちら
→ 工作/歯車について勉強する3#ud5c339c

LANG: p5js_live
  // src/css-text.ts
  function generateRandomId(length) {
    let result = "";
    const characters = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789";
    const charactersLength = characters.length;
    let counter = 0;
    while (counter < length) {
      result += characters.charAt(Math.floor(Math.random() * charactersLength));
      counter += 1;
    }
    return result;
  }
  var cssText = (id) => `
  @media screen and (min-width: 640px) {
    #${id} {
      position: absolute;
      left: 0;
      top: 0;
      opacity: 0.2;
    }
    #${id}:hover {
      opacity: 0.7;
    }
    #${id} .control-slider {
      padding-left: 10px;
    }
  }
  @media screen and (max-width: 639px) {
    #${id} .check-hide-tools {
      display: none !important;
    }
    #${id} {
      height: 30vh;
      overflow-y: scroll;
      line-height: 2;
    }
    #${id} > :last-child {
      padding-bottom: 10vh;
    }
    #${id} .control-checkbox {
      width:85px !important;
    }
    #${id} .control-slider input {
      width: 200px !important;
    }
  }
  #${id} {
    display: block;
    max-width: 500px
  }
  #${id} .control-slider {
    display: block
  }
  #${id} .control-slider :first-child {
    display: inline-block;
    width: 80px
  }
  #${id} .control-slider :nth-child(2) {
    display: inline-block;
    width: 50px
  }
  #${id} .control-slider input {
    display: inline-block;
    width: 350px;
  }
  #${id} .control-checkbox {
    display:inline-block;
    width:110px;
    overflow:hidden
  }
`;

  // src/initializeControls.ts
  function initializeControls(parent) {
    const id = generateRandomId(8);
    const wrapper = elem("div", "", [elem("style", cssText(id))], { id });
    parent.appendChild(wrapper);
    const wrapControls = elem("div", "", [], {});
    const checkHide = createCheckbox(wrapper, "ﾂｰﾙを非表示", () => {
      wrapControls.style.display = checkHide.checked ? "none" : "block";
    });
    checkHide.parentElement.classList.add("check-hide-tools");
    wrapper.appendChild(wrapControls);
    const inputChanged = () => {
    };
    const controls = {
      m: createSlider(
        wrapControls,
        "ﾓｼﾞｭｰﾙ",
        { min: 10, max: 400, value: 80, step: 1 },
        inputChanged
      ),
      alpha: createSlider(
        wrapControls,
        "圧力角",
        { min: 10, max: 32, value: 20, step: 1 },
        inputChanged
      ),
      z: createSlider(wrapControls, "歯数A", { min: 4, max: 60, value: 19, step: 1 }, inputChanged),
      shift: createSlider(
        wrapControls,
        "転位A",
        { min: -0.5, max: 2, value: 0, step: 0.05 },
        inputChanged
      ),
      z2: createSlider(wrapControls, "歯数B", { min: 4, max: 60, value: 6, step: 1 }, inputChanged),
      shift2: createSlider(
        wrapControls,
        "転位B",
        { min: -0.5, max: 2, value: 0, step: 0.05 },
        inputChanged
      ),
      fillet: createSlider(
        wrapControls,
        "ﾌｨﾚｯﾄ",
        { min: 0, max: 0.4, value: 0.4, step: 0.01 },
        inputChanged
      ),
      backlash: createSlider(
        wrapControls,
        "ﾊﾞｯｸﾗｯｼｭ",
        { min: -5, max: 5, value: 0, step: 0.02 },
        inputChanged
      ),
      velocity: createSlider(
        wrapControls,
        "速度",
        { min: -1, max: 10, value: 1, step: 0.1 },
        inputChanged
      ),
      theta: createSlider(
        wrapControls,
        "回転角",
        { min: -360, max: 360, value: 0, step: 0.1 },
        inputChanged
      ),
      df: createCheckbox(wrapControls, "歯底円", inputChanged, false),
      db: createCheckbox(wrapControls, "基礎円", inputChanged, false),
      dp: createCheckbox(wrapControls, "基準円", inputChanged, true),
      dk: createCheckbox(wrapControls, "歯先円", inputChanged, false),
      play: createCheckbox(wrapControls, "自動更新", inputChanged, true),
      connection: createCheckbox(wrapControls, "接続点", inputChanged, false),
      inner: createCheckbox(wrapControls, "内歯車", inputChanged, false),
      stop: false
    };
    controls.theta.addEventListener("mousedown", () => {
      controls.stop = true;
    });
    controls.theta.addEventListener("mouseup", () => {
      controls.stop = false;
    });
    return {
      get m() {
        return Number(controls.m.value);
      },
      set m(v) {
        controls.m.value = String(v);
        controls.m.doInput();
      },
      get alpha() {
        return Number(controls.alpha.value) / 180 * Math.PI;
      },
      get z() {
        return Number(controls.z.value);
      },
      get shift() {
        return Number(controls.shift.value) * this.m;
      },
      get z2() {
        return Number(controls.z2.value);
      },
      get shift2() {
        return Number(controls.shift2.value) * this.m;
      },
      get theta() {
        return -(Number(controls.theta.value) / 180) * Math.PI;
      },
      set theta(value) {
        controls.theta.value = String(-value * 180 / Math.PI);
        controls.theta.doInput();
      },
      get fillet() {
        return Number(controls.fillet.value) * this.m;
      },
      get mk() {
        return 1 * this.m;
      },
      get mf() {
        return 1.25 * this.m;
      },
      get backlash() {
        return Number(controls.backlash.value) * Math.PI * this.m / 100;
      },
      get play() {
        return controls.play.checked && !controls.stop;
      },
      get velocity() {
        return Number(controls.velocity.value) / 180 * Math.PI;
      },
      get df() {
        return controls.df.checked;
      },
      get db() {
        return controls.db.checked;
      },
      get dp() {
        return controls.dp.checked;
      },
      get dk() {
        return controls.dk.checked;
      },
      get connection() {
        return controls.connection.checked;
      },
      get inner() {
        return controls.inner.checked;
      },
      incrementTheta() {
        if (this.theta - this.velocity < -2 * Math.PI) {
          this.theta += -this.velocity + 4 * Math.PI;
        } else {
          this.theta += -this.velocity;
        }
      }
    };
  }
  function elem(tag, html = "", children = [], props = {}, events = {}) {
    const result = document.createElement(tag);
    if (html != "") result.innerHTML = html;
    children.forEach((c) => result.appendChild(c));
    Object.entries(props).sort((a, b) => a[0] < b[0] ? -1 : a[0] > b[0] ? 1 : 0).forEach(([k, v]) => {
      if (k == "class") {
        result.className = String(v);
      } else if (typeof v == "object") {
        Object.entries(v).forEach(([k2, v2]) => result[k][k2] = v2);
      } else {
        result[k] = v;
      }
    });
    const notIsArray = (maybeArray) => {
      return !Array.isArray(maybeArray);
    };
    Object.entries(events).forEach(([k, v]) => {
      if (notIsArray(v)) v = [v];
      v.forEach((f) => result.addEventListener(k, f));
    });
    return result;
  }
  function createSlider(parent, label, option, oninput) {
    const value = elem("span", String(option.value));
    const slider = elem(
      "input",
      "",
      [],
      { type: "range", ...option },
      { input: () => slider.doInput() }
    );
    slider.doInput = () => {
      value.innerHTML = slider.value;
      oninput();
    };
    const wrapper = elem("div", "", [elem("span", label), value, slider], {
      class: "control-slider"
    });
    parent.appendChild(wrapper);
    return slider;
  }
  function createCheckbox(parent, label, oninput, checked = false) {
    const check = elem(
      "input",
      "",
      [],
      { type: "checkbox", checked },
      { input: (e) => check.doInput(e) }
    );
    check.doInput = oninput;
    const wrapper = elem("label", "", [check, elem("span", label)], {
      class: "control-checkbox"
    });
    parent.appendChild(wrapper);
    return check;
  }

  // src/vector.ts
  var Vector = class _Vector {
    x;
    y;
    constructor(x, y) {
      this.x = x;
      this.y = y;
    }
    static polar(r, theta) {
      return new _Vector(r * Math.cos(theta), r * Math.sin(theta));
    }
    angle() {
      return Math.atan2(this.y, this.x);
    }
    equal(v) {
      const epsilon = 1e-6;
      return Math.abs(this.x - v.x) < epsilon && Math.abs(this.y - v.y) < epsilon;
    }
    add(v) {
      return new _Vector(this.x + v.x, this.y + v.y);
    }
    sub(v) {
      return new _Vector(this.x - v.x, this.y - v.y);
    }
    mul(scalar) {
      return new _Vector(this.x * scalar, this.y * scalar);
    }
    rotate(angle) {
      const cos = Math.cos(angle);
      const sin = Math.sin(angle);
      return new _Vector(this.x * cos - this.y * sin, this.x * sin + this.y * cos);
    }
    addRotated(angle, v) {
      return this.add(v.rotate(angle));
    }
    flipY() {
      return new _Vector(this.x, -this.y);
    }
    flipX() {
      return new _Vector(-this.x, this.y);
    }
    norm() {
      return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y);
    }
    normalize(length = 1) {
      const len = this.norm() / length;
      return new _Vector(this.x / len, this.y / len);
    }
    polar() {
      return [this.norm(), this.angle()];
    }
    inner(v) {
      return this.x * v.x + this.y * v.y;
    }
    outer(v) {
      return this.x * v.y - this.y * v.x;
    }
  };
  function vec(x, y) {
    return new Vector(x, y);
  }

  // src/rack.ts
  function rackCurves(params) {
    const { m, z, alpha, shift, fillet, mf, mk, backlash } = params;
    const rp = z * m / 2;
    const { sin, tan, min, PI } = Math;
    const rc = 0.25 * m;
    const r1 = vec(rp + shift + mk, mk * tan(alpha) + backlash / 2);
    const r2 = vec(rp + shift - (mf - rc), -(mf - rc) * tan(alpha) + backlash / 2);
    const r3 = vec(rp + shift - mf, -mf * tan(alpha) + backlash / 2);
    const fillet1 = rc / (1 - sin(alpha));
    let fr = min(fillet, fillet1);
    let c = r3.add(vec(fr, -fr / tan((PI / 2 + alpha) / 2)));
    if (c.y < -PI * m / 4) {
      c = c.add(r3.sub(c).mul((-PI * m / 4 - c.y) / (r3.y - c.y)));
      fr = c.x - r3.x;
    }
    return {
      r1,
      r2,
      filletCenter: c,
      filletRadius: fr
    };
  }

  // src/curve.ts
  var Curve = class _Curve extends Array {
    constructor(point_or_option, ...points) {
      if (point_or_option instanceof Vector) {
        super(point_or_option, ...points);
        this.option = {};
      } else {
        super(...points);
        this.option = point_or_option ?? {};
      }
    }
    // 均等に nPoints 個の点を取り出して新しいカーブとして返す
    static extractPoints(c, nPoints) {
      if (c.length <= nPoints) return c;
      const total = c.totalLength();
      const c2 = new _Curve(c.option);
      let next = 0, len = 0;
      for (let i = 0; i < c.length - 1; i++) {
        if (len >= next) {
          c2.push(c[i]);
          next = total * c2.length / nPoints;
        }
        len += c[i].sub(c[i + 1]).norm();
      }
      c2.push(c[c.length - 1]);
      return c2;
    }
    static circle(r, origin = vec(0, 0), option = {}, n = 100) {
      const c = new _Curve(option);
      for (let i = 0; i <= n; i++) {
        const angle = 2 * Math.PI * i / n;
        c.push(vec(r * Math.cos(angle), r * Math.sin(angle)).add(origin));
      }
      return c;
    }
    option;
    totalLength() {
      let sum = 0;
      for (let i = 0; i < this.length - 1; i++) {
        sum += this[i].sub(this[i + 1]).norm();
      }
      return sum;
    }
    draw(p2, mark = false) {
      if (typeof this.option?.stroke == "undefined") {
        p2.stroke("black");
      } else {
        p2.stroke(this.option.stroke);
      }
      if (typeof this.option?.weight == "undefined") {
        p2.strokeWeight(1);
      } else {
        p2.strokeWeight(this.option.weight);
      }
      if (typeof this.option?.dash == "undefined") {
        p2.drawingContext.setLineDash([]);
      } else {
        p2.drawingContext.setLineDash(this.option.dash);
      }
      if (typeof this.option?.fill == "undefined") {
        p2.noFill();
        p2.beginShape();
        for (let i = 0; i < this.length; i++) {
          p2.vertex(this[i].x, this[i].y);
        }
        p2.endShape();
      } else {
        p2.fill(this.option.fill);
        p2.beginShape();
        for (let i = 0; i < this.length; i++) {
          p2.vertex(this[i].x, this[i].y);
        }
        p2.endShape(p2.CLOSE);
      }
      if (mark) {
        this.forEach((v) => p2.circle(v.x, v.y, 1.5));
      }
    }
    apply(f, option = this.option) {
      return new _Curve(option, ...this.map(f));
    }
    // c1, c2 は２点のみを含む線分
    crossPoint(c2) {
      return crossPoint(this[0], this[1], c2[0], c2[1]);
    }
    direction(i = 0) {
      return this[i].sub(this[i + 1]).normalize();
    }
  };
  function crossPoint(p1, p2, q1, q2) {
    const a = p2.sub(p1);
    const b = q2.sub(q1);
    const c = q1.sub(p1);
    const d = a.outer(b);
    if (d == 0) return;
    const s = c.outer(a) / d;
    const t = c.outer(b) / d;
    if (s < 0 || s > 1 || t < 0 || t > 1) return;
    return p1.add(a.mul(t));
  }
  function crossPointXDesc(c1, c2) {
    let i = 0, j = 0;
    while (i < c1.length - 1 && j < c2.length - 1) {
      if (c1[i + 1].x > c2[j].x) {
        i++;
        continue;
      }
      if (c1[i].x < c2[j + 1].x) {
        j++;
        continue;
      }
      const p2 = crossPoint(c1[i], c1[i + 1], c2[j], c2[j + 1]);
      if (p2) return [p2, i, j];
      if (c1[i + 1].x > c2[j + 1].x) {
        i++;
      } else {
        j++;
      }
    }
    return [];
  }
  function distanceFromLine(p2, q1, q2) {
    const a = q2.sub(q1);
    const b = p2.sub(q1);
    return Math.abs(a.outer(b) / a.norm());
  }
  function closestPointXDesc(c1, c2) {
    let i = 0, j = 0, minimum = [Infinity];
    while (i < c1.length - 1 && j < c2.length - 1) {
      if (c1[i + 1].x > c2[j].x) {
        i++;
        continue;
      }
      if (c1[i].x < c2[j + 1].x) {
        j++;
        continue;
      }
      if (c1[i].x < c2[j].x) {
        const d = distanceFromLine(c1[i], c2[j], c2[j + 1]);
        if (d < minimum[0]) minimum = [d, i, j, 0];
      } else {
        const d = distanceFromLine(c2[j], c1[i], c1[i + 1]);
        if (d < minimum[0]) minimum = [d, i, j, 1];
      }
      if (c1[i + 1].x > c2[j + 1].x) {
        i++;
      } else {
        j++;
      }
    }
    if (minimum.length == 1) {
      if (j < c2.length - 1) {
        const d = distanceFromLine(c1[i], c2[j], c2[j + 1]);
        return [d, i, j, 0];
      } else {
        const d = distanceFromLine(c2[j], c1[i], c1[i + 1]);
        return [d, i, j, 1];
      }
    }
    return minimum;
  }

  // src/function.ts
  function minimize(l, r, f, epsilon = 1e-6) {
    while (l + epsilon < r) {
      const m1 = l + (r - l) / 3;
      const m2 = r - (r - l) / 3;
      const f1 = f(m1);
      const f2 = f(m2);
      if (f1 < f2) {
        r = m2;
      } else {
        l = m1;
      }
    }
    return (l + r) / 2;
  }
  function root(l, r, f, epsilon = 1e-6) {
    const fl = f(l);
    const fr = f(r);
    if (fl * fr > 0) {
      return Math.abs(fl) < Math.abs(fr) ? l : r;
    }
    if (fl > fr) [l, r] = [r, l];
    while (Math.abs(l - r) > epsilon) {
      const m = (l + r) / 2;
      if (f(m) < 0) {
        l = m;
      } else {
        r = m;
      }
    }
    return (l + r) / 2;
  }

  // src/gear.ts
  function gearCurve(params) {
    params = { ...params };
    const { m, z } = params;
    if (params.inner) {
      [params.mk, params.mf] = [params.mf, params.mk];
      params.fillet = 0;
    }
    const rp = m * z / 2;
    const { r1, r2, filletCenter, filletRadius } = rackCurves(params);
    const shiftRotate = (t, p2) => p2.add(vec(0, -rp * t)).rotate(t);
    const dShiftRotate = (t, p2) => {
      const { sin, cos, PI } = Math;
      return p2.rotate(t + PI / 2).add(
        vec(
          rp * (sin(t) + t * cos(t)),
          //
          rp * (-cos(t) + t * sin(t))
        )
      );
    };
    const rackTrace = (t) => {
      const p1 = shiftRotate(t, r1);
      const Dp = shiftRotate(t, r2).sub(p1);
      const dp1 = dShiftRotate(t, r1);
      const dDp = dShiftRotate(t, r2).sub(dp1);
      const s = dp1.outer(Dp) / dDp.outer(Dp);
      return [p1.sub(Dp.mul(s)), s];
    };
    const filletTrace = (t) => {
      const p0 = shiftRotate(t, filletCenter);
      const v1 = dShiftRotate(t, filletCenter).normalize(filletRadius);
      const p2 = p0.addRotated(-Math.PI / 2, v1);
      const p3 = p0.addRotated(Math.PI / 2, v1);
      return p2.x - p2.y < p3.x - p3.y ? p2 : p3;
    };
    let { cInvolute, involuteT } = calculateInvoluteCurve(params, rackTrace);
    let cFillet = new Curve();
    let filletT = [];
    if (!params.inner) {
      [cFillet, filletT] = calculateFilletCurve(
        params,
        shiftRotate,
        filletTrace,
        filletCenter,
        filletRadius,
        r2
      );
      ({ cInvolute, involuteT, cFillet, filletT } = combineCurvesAtIntersection(
        cInvolute,
        involuteT,
        rackTrace,
        cFillet,
        filletT,
        filletTrace
      ));
    }
    return assembleGearCurves(params, cInvolute, cFillet);
  }
  function calculateInvoluteCurve(params, rackTrace) {
    const { alpha, mk, mf, shift, z, m } = params;
    const rp = m * z / 2;
    const { abs, PI } = Math;
    let involuteS, involuteE;
    const involuteT = [];
    const involuteN = 300;
    involuteS = minimize(0, 90 - alpha, (t) => abs(rackTrace(t)[0].norm() - rp - mk - shift));
    if (rackTrace(involuteS)[0].angle() > PI / z / 2) {
      involuteS = minimize(0, involuteS, (t) => abs(rackTrace(t)[0].angle() - PI / z / 2));
    }
    involuteE = minimize(0, -2 * alpha, (t) => rackTrace(t)[0].norm());
    if (rackTrace(involuteE)[0].norm()) {
      involuteE = root(0, involuteE, (t) => rackTrace(t)[0].norm() - (rp - mf + shift));
    }
    const cInvolute = new Curve();
    for (let i = 0; i < involuteN; i++) {
      const t = involuteS + (involuteE - involuteS) * i / involuteN;
      cInvolute.push(rackTrace(t)[0]);
      involuteT.push(t);
    }
    return { cInvolute, involuteT };
  }
  function calculateFilletCurve(params, shiftRotate, filletTrace, center, radius, r2) {
    const { abs, PI, ceil } = Math;
    const { shift, alpha, m, z, mk } = params;
    const rp = m * z / 2;
    const rk = rp + mk;
    let filletS, filletE;
    const filletD = 0.05;
    for (filletS = 0; ; filletS -= filletD) {
      if (shiftRotate(filletS, center).norm() > rk + shift) break;
    }
    for (filletE = filletD; ; filletE += filletD) {
      if (shiftRotate(filletE, center).norm() > rk + shift) break;
    }
    const filletM = minimize(filletS, filletE, (t) => filletTrace(t).norm());
    if (shiftRotate(filletM, center).norm() > rp) {
      [filletS, filletE] = [filletE, filletS];
    }
    filletE = filletM;
    let filletF = false;
    let last = null;
    let di = 1;
    let filletS2 = filletS;
    const filletN = 60, filletT = [];
    const cFillet = new Curve();
    for (let i = 0; i <= filletN; i += di) {
      const t = filletS + (filletE - filletS) * i / filletN;
      const p2 = filletTrace(t);
      if (!filletF && !(p2.norm() > r2.norm() && p2.sub(r2).angle() < alpha)) {
        filletF = true;
        filletS2 = t;
        if (last) {
          cFillet.push(last);
          filletT.push(t - (filletE - filletS) * di / filletN);
        }
      }
      if (filletF) {
        cFillet.push(p2);
        filletT.push(t);
      }
      const c = shiftRotate(t, center);
      if (i > 0 && c.sub(shiftRotate(filletM, center)).norm() < m / 1e3) {
        const ts = abs(p2.sub(shiftRotate(filletM, center)).angle());
        const te = PI - PI / z / 2;
        const tn = ceil(abs(te - ts) / PI * 180);
        for (let j = 1; j <= tn; j++) {
          const tt = ts + (te - ts) * j / tn;
          cFillet.push(shiftRotate(filletM, center).add(Vector.polar(radius, tt)));
        }
        break;
      }
      if (i > 0 && p2.sub(last).norm() > m / 20) di /= 2;
      last = p2;
    }
    filletS = filletS2;
    return [cFillet, filletT];
  }
  function combineCurvesAtIntersection(cInvolute, involuteT, rackTrace, cFillet, filletT, filletTrace) {
    const [p2, i, j] = crossPointXDesc(cInvolute, cFillet);
    if (p2) {
      cInvolute.splice(i + 1, Infinity, p2);
      involuteT.splice(
        i + 1,
        Infinity,
        minimize(involuteT[i], involuteT[i + 1], (t) => rackTrace(t)[0].sub(p2).norm())
      );
      cFillet.splice(0, j + 1, p2);
      filletT.splice(
        0,
        j + 1,
        minimize(filletT[j], filletT[j + 1], (t) => filletTrace(t).sub(p2).norm())
      );
    } else {
      const [, i2, j2, f] = closestPointXDesc(cInvolute, cFillet);
      if (f) {
        cInvolute.splice(i2 + 1, Infinity, cFillet[j2]);
        cFillet.splice(0, j2);
        involuteT.splice(
          i2 + 1,
          Infinity,
          minimize(involuteT[i2], involuteT[i2 + 1], (t) => rackTrace(t)[0].sub(cFillet[j2]).norm())
        );
        filletT.splice(0, j2);
      } else {
        cInvolute.splice(i2 + 1, Infinity);
        cFillet.splice(0, j2 + 1, cInvolute[i2]);
        involuteT.splice(i2 + 1, Infinity);
        filletT.splice(
          0,
          j2 + 1,
          minimize(filletT[j2], filletT[j2 + 1], (t) => filletTrace(t).sub(cInvolute[i2]).norm())
        );
      }
    }
    return { cInvolute, involuteT, cFillet, filletT };
  }
  function assembleGearCurves(params, cInvolute, cFillet) {
    const { m, shift, z, mf } = params;
    const rf = m * z / 2 - mf;
    const { PI } = Math;
    let gear = [];
    const cTop = arcCurve(cInvolute[0].norm(), PI / z / 2, cInvolute[0].angle());
    gear.push(cTop);
    const cInvolute2 = Curve.extractPoints(cInvolute, 30).filter(
      (_, i, array) => i < 2 || i > array.length - 3 || i % 2 == 1
    );
    gear.push(new Curve(cInvolute.option, ...cInvolute2));
    const cFillet2 = Curve.extractPoints(cFillet, 30).filter(
      (_, i, array) => i < 2 || i > array.length - 3 || i % 2 == 1
    );
    gear.push(new Curve(cFillet.option, ...cFillet2));
    if (params.inner) {
      const cBottom = arcCurve(cInvolute.at(-1).norm(), cInvolute.at(-1).angle(), -PI / z / 2);
      gear.push(cBottom);
    } else if (cFillet.length > 0) {
      const cBottom = arcCurve(rf + shift, cFillet[cFillet.length - 1].angle(), -PI / z / 2);
      gear.push(cBottom);
    }
    gear = gear.map((c) => c.apply((v) => v.rotate(-PI / z / 2)));
    let connections = [];
    connections.push(cInvolute[0].rotate(-PI / z / 2).polar());
    connections.push(
      cInvolute.at(-1).rotate(-PI / z / 2).polar()
    );
    if (cFillet.length > 0) {
      connections.push(
        cFillet.at(-1).rotate(-PI / z / 2).polar()
      );
    }
    let tooth = gear.reduce(
      (a, c) => a.slice(0, -1).concat(c.map((v) => v.polar())),
      []
    );
    tooth = tooth.map((v) => [v[0], -v[1]]).reverse().concat(tooth);
    connections = connections.map((v) => [v[0], -v[1]]).reverse().concat(connections);
    const result = { curve: [...tooth], connections: [...connections] };
    for (let i = 1; i < z; i++) {
      result.curve = result.curve.concat(
        tooth.map((v) => [v[0], v[1] - i * 2 * PI / z])
      );
      result.connections = result.connections.concat(
        connections.map((v) => [v[0], v[1] - i * 2 * PI / z])
      );
    }
    return result;
  }
  function arcCurve(r, st, et, c = vec(0, 0), dt = 0.02, epsilon = 1e-4) {
    const { abs, ceil, max } = Math;
    const result = new Curve();
    if (r * abs(et - st) > epsilon) {
      const nt = max(2, ceil(abs(et - st) / dt));
      for (let i = 0; i <= nt; i++) {
        const t = st + (et - st) * i / nt;
        result.push(c.add(Vector.polar(r, t)));
      }
    }
    return result;
  }

  // src/gears_cache.ts
  var prevParams = null;
  var gear1 = null;
  var gear2 = null;
  function cachedGears(params) {
    const changedKeys = prevParams !== null ? getChangedKeys(params, prevParams) : [];
    if (!gear1 || changedKeys.filter((k) => !["m2", "shift2"].includes(k)).length > 0) {
      gear1 = gearCurve({ ...params, backlash: params.inner ? -params.backlash : params.backlash });
    }
    if (!gear2 || changedKeys.filter((k) => !["m", "shift", "inner"].includes(k)).length > 0) {
      gear2 = gearCurve({ ...params, z: params.z2, shift: params.shift2, inner: false });
    }
    prevParams = pickParams(params);
    return { gear1, gear2 };
  }
  function objectPick(obj, keys) {
    return keys.reduce(
      (acc, key) => {
        acc[key] = obj[key];
        return acc;
      },
      {}
    );
  }
  function objectKeys(obj) {
    return Object.keys(obj);
  }
  function getChangedKeys(current, prev) {
    return objectKeys(prev).filter((key) => current[key] !== prev[key]);
  }
  function pickParams(params) {
    return objectPick(params, [
      "m",
      "z",
      "alpha",
      "shift",
      "z2",
      "shift2",
      "fillet",
      "backlash",
      "inner"
    ]);
  }

  // src/main.ts
  var sketch = (p2) => {
    let params;
    const canvas = {
      width: 800,
      height: 800,
      ox: 0,
      oy: 0
    };
    p2.setup = () => {
      const { width, height } = canvas;
      canvas.ox = width / 2;
      canvas.oy = height / 2;
      const c = p2.createCanvas(width, height);
      c.style("max-width", "100%");
      c.style("height", "auto");
      const wrapper = c.elt.parentElement;
      params = initializeControls(wrapper);
    };
    let dragging = false;
    p2.mousePressed = (e) => {
      if (e.target.tagName !== "CANVAS") return;
      dragging = true;
      return true;
    };
    p2.mouseDragged = (e) => {
      if (!dragging && e.target.tagName !== "CANVAS") return;
      canvas.ox += p2.mouseX - p2.pmouseX;
      canvas.oy += p2.mouseY - p2.pmouseY;
      return true;
    };
    p2.mouseReleased = () => {
      dragging = false;
      return true;
    };
    p2.mouseWheel = (event) => {
      if (event.target.tagName !== "CANVAS") return;
      const delta = -event.deltaY / 200;
      params.m *= 1 + delta;
      event.preventDefault();
      return true;
    };
    let pinchS = 0;
    p2.touchStarted = (e) => {
      if (e.target.tagName !== "CANVAS") return;
      dragging = true;
      if (e.touches.length == 2) {
        pinchS = params.m / Math.sqrt(
          (e.touches[1].clientX - e.touches[0].clientX) ** 2 + (e.touches[1].clientY - e.touches[0].clientY) ** 2
        );
      }
      e.preventDefault();
      return true;
    };
    p2.touchMoved = (e) => {
      if (!dragging) return;
      if (e.touches.length == 1) {
        canvas.ox += p2.mouseX - p2.pmouseX;
        canvas.oy += p2.mouseY - p2.pmouseY;
      } else if (e.touches.length == 2) {
        params.m = pinchS * Math.sqrt(
          (e.touches[1].clientX - e.touches[0].clientX) ** 2 + (e.touches[1].clientY - e.touches[0].clientY) ** 2
        );
        canvas.ox += (p2.mouseX - p2.pmouseX) / 2;
        canvas.oy += (p2.mouseY - p2.pmouseY) / 2;
      }
      e.preventDefault();
      return true;
    };
    p2.touchEnded = (e) => {
      dragging = false;
      e.preventDefault();
      return true;
    };
    p2.draw = () => {
      const { ox, oy, width, height } = canvas;
      p2.fill(220);
      p2.rect(0, 0, width, height);
      const { gear1: gear12, gear2: gear22 } = cachedGears(params);
      if (params.play) params.incrementTheta();
      const { m, z, z2, shift, shift2, inner, theta, connection, alpha } = params;
      const [rp, rp2] = [m * z / 2, m * z2 / 2];
      const { PI, cos, tan, abs } = Math;
      const inv = (a) => tan(a) - a;
      const inverse_inv = (inva2) => {
        if (inva2 == 0) return 0;
        if (inva2 < 0) return -inverse_inv(-inva2);
        let a = inva2 > 2.4 ? Math.atan(inva2) : 1.441 * inva2 ** (1 / 3) - 0.374 * inva2;
        let a_prev = 2;
        for (let i = 0; i < 20; i++) {
          const tana = tan(a);
          a += (inva2 - tana + a) / tana ** 2;
          if (abs(a_prev - a) < 1e-15) return a;
          a_prev = a;
        }
        return a;
      };
      const s = inner ? -1 : 1;
      const a0 = m * (z + s * z2) / 2;
      const inva = tan(alpha) * (shift + s * shift2) / a0 + inv(alpha);
      const aw = inverse_inv(inva);
      const da = a0 * (cos(alpha) / cos(aw) - 1);
      if (!inner) {
        drawGear(p2, gear12, ox - rp - da / 2, oy, -theta / z, connection, 0);
        drawCircles(p2, ox - rp - da / 2, oy, params);
      } else {
        const innerR = rp + m * 5 / 2;
        const thetaI = (theta + PI) / z + PI;
        drawGear(p2, gear12, ox + rp - s * da / 2, oy, thetaI, connection, innerR);
        drawCircles(p2, ox + rp - s * da / 2, oy, params);
      }
      const theta2 = (theta + PI) / z2 + PI;
      const params2 = { ...params, z: z2, shift: shift2 };
      drawGear(p2, gear22, ox + rp2 + s * da / 2, oy, theta2, connection);
      drawCircles(p2, ox + rp2 + s * da / 2, oy, params2);
    };
    const drawGear = (p3, gear, ox, oy, dt = 0, connection = false, innerR = 0) => {
      p3.strokeWeight(1);
      p3.stroke("black");
      p3.fill("rgba(255, 255, 255, 0.5)");
      if (innerR) {
        p3.circle(ox, oy, innerR * 2);
        p3.fill(220);
      }
      p3.beginShape();
      gear.curve.forEach((v) => {
        p3.vertex(ox + v[0] * Math.cos(v[1] + dt), oy + v[0] * Math.sin(v[1] + dt));
      });
      p3.endShape("close");
      if (connection) {
        gear.connections.forEach((v) => {
          p3.circle(ox + v[0] * Math.cos(v[1] + dt), oy + v[0] * Math.sin(v[1] + dt), 3);
        });
      }
    };
    const drawCircles = (p3, ox, oy, params2) => {
      const { df, db, dp, dk, m, z, mk, mf, alpha, shift } = params2;
      p3.strokeWeight(1);
      p3.stroke("Blue");
      p3.noFill();
      p3.drawingContext.setLineDash([2, 6]);
      if (df) p3.circle(ox, oy, (m * z / 2 - mf + shift) * 2);
      if (db) p3.circle(ox, oy, m * z * Math.cos(alpha));
      if (dp) p3.circle(ox, oy, m * z);
      if (dp && shift) p3.circle(ox, oy, m * z + shift * 2);
      if (dk) p3.circle(ox, oy, (m * z / 2 + mk + shift) * 2);
      p3.drawingContext.setLineDash([]);
    };
  };
  sketch(p);

内歯車について：

• インボリュート曲線部分のみで歯形としているため歯数の少ない場合に歯先円まで届かない（実質的な歯先円が大きくなる）
• フィレットは付けていない
• 転位の値によって表示されない

形状を指定するパラメータ†

歯車は歯のピッチと歯の枚数、そして、歯の肉厚によって形が決まる。

• モジュール （歯のピッチを $\pi$ で割った値） $m$
• 歯の数 $z$
• 圧力角（歯の肉厚を決める） $\alpha$

歯のピッチは円周の $1/z$ だから歯車の直径 $d$ として $\pi d/z$

ここから $mz=d$ の関係が出る

圧力角†

• 圧力角が小さいと歯と歯の滑りが小さくなり摩擦が小さくなるが、
  歯車が小さいときに接触時間が短くなる。
• 圧力角が大きいと歯と歯の滑りが大きくなり摩擦が大きくなるが、
  歯車が小さいときも接触時間は長く取れる。

圧力角は 20°とするのが一般的だそう。

基準円とその他の円†

上の $d$ は「基準円」の直径であり、他の直径と区別するため以下では $d_p$ と書く。

• かみ合う２つの歯車は基準円同士がちょうど接する(転位なしの場合)
• 基準円の上で歯の厚さはピッチの半分になり、残りの半分が隙間になる
• 基準円の上で歯の外形線と半径とがなす角が圧力角 $\alpha$ である

その他に重要な直径として以下がある。

• 基礎円より上がインボリュート曲線になり相手の歯車と接する
• 基礎円より下は相手の歯車と接することはない
• 歯先円は、基準円から外側の歯先の長さ（歯末のたけ） $(d_k-d_p)/2=m$ を決める
• 歯底円は、相手の歯先から歯底までの間の間隙の深さ（頂げき） $(d_p-d_k)/2=0.25m$ を決める

基礎円の外側（歯末）の歯形†

基礎円より外側の歯の形状はインボリュート曲線とすることが多いらしい。

この曲線は外形線が基礎円と交わる点を基準とした極座標 $r,\theta$ を用いて、 $$ \theta=\tan a-a\ \ \text{ただし}\ \ a(r)=\cos^{-1}\frac{r_b}r $$ と表される。ここに現れる $$ \mathrm{inv}\,a=\tan a-a $$ はインボリュート関数と呼ばれる。

$\theta$ の基準を歯先の中心に取るなら、

$$ \begin{aligned} \theta(r)=\mathrm{inv}\, a(r) - \mathrm{inv}\, a(r_p) - \frac14\frac{2\pi} z \end{aligned} $$

とする。

例えば以下のようにして描ける。

LANG: js
  const involute_theta0 =
    Math.tan(Math.acos(rb / rp)) - Math.acos(rb / rp) + Math.PI / z / 2;
  const involute_r2theta = (r) => {
    return -(Math.tan(Math.acos(rb / r)) - Math.acos(rb / r) - involute_theta0);
  };

  // インボルート曲線
  const c_involute = [];
  const involute_n = 30; // 何分割するか
  let involute_rs = rk;               // 書き始めの r
  let involute_re = Math.max(rb, rf); // 書き終わりの r
  // 圧力角が大きいときは rk まで書くと書きすぎになる
  if (involute_r2theta(involute_rs) < 0) {
    for (
      ;
      involute_r2theta(involute_rs) < 0;
      involute_rs -= (involute_rs - involute_re) / 100
    ) {
      // do nothing
    }
    // involute_r2theta(r) = 0 となる点を求める
    involute_rs = bisect_root(
      involute_rs,
      involute_rs + (involute_rs - involute_re) / 100,
      involute_r2theta
    );
    c_involute.push([involute_rs, 0]); // 最初の点
  }
  // 残りの点を求める
  for (let i = c_involute.length; i <= involute_n; i++) {
    let r = involute_rs + ((involute_re - involute_rs) / involute_n) * i;
    c_involute.push([r, involute_r2theta(r)]);
  }

LANG: js
// 二分法を使い a と b の間で f(x) = 0 の点を探す
// epsilon は x 方向の精度
function bisect_root(a, b, f, epsilon = 1e-6) {
  const fa = f(a),
  fb = f(b);
  if (fa * fb > 0) return Math.NaN;

  const flag = fa < 0;
  for (; Math.abs(a - b) > epsilon; ) {
    let m = (a + b) / 2;
    if (flag ? f(m) < 0 : f(m) > 0) {
      a = m;
    } else {
      b = m;
    }
  }
  return a;
}

基準円の内側（歯元）の歯形†

基準円より下は相手の歯車と接する部分ではないため、特にこだわらないのであればまっすぐ中心へ下ろしてしまったり、強度を増すために適当な半径のフィレットを付けたりするだけでも構わない。

現実の歯車はラックと同じ形状のホブと呼ばれる切削具で切り出されるのだけれど、その際には歯車に対してホブの歯先形状が移動した包絡線により自動的にフィレット付きの歯元歯形が得られる。この波形は次項で説明するトロコイド曲線（をオフセットした曲線）になる。

このページの挿入図は初期に適当なフィレットを付けて描いたものであるのに対して、冒頭のインタラクティブに描かれる歯車形状では正しいトロコイド曲線が使われている。

歯数の少ない歯車では†

歯数が少ない歯車、圧力角が20度の場合には歯数が 18 未満になると、相手の歯数が大きいときに基準円から下を中心に向かって真っすぐ下ろしたのでは相手の歯先と干渉してしまう。

相手の歯数が大きいほど干渉は大きくなるため、相手の歯数が無限大でも大丈夫な形で「逃げ」を作るのが普通。というか、歯数無限大の歯車はラックであるから、ラック形状と同等の切削具で切られる歯車には自動的にこの逃げが作成される。ラック＆ピニオンの状況を考えると、ラックの歯の角度は圧力角 $\alpha$ そのもので、$r_p$ に相当する高さではやはり歯の幅はピッチの半分になる。高さは基準円から上が $m$、下が $1.25m$ である。

ラックの歯先が通る直線はピニオンの中心から $r_p-m$ の距離にあり、ラックの移動速度はピニオンの半径 $r_p$ の点の円周の速さと同じである。

下図の時点で頂点の $y$ 座標は $\pi m/4-m \tan \alpha$ である。このあとピニオンが $\omega t$ 回転したとき $y$ 座標は $\pi m/4-m \tan \alpha-r_p\omega t$ で $x$ 座標は $x=r_p-m$ で変わらないから、この点をピニオンの中心から見た極座標で表した曲座標 $\theta$ と動径 $r$ は

$$ r=\sqrt{(r_p-m)^2+(\pi m/4-m \tan \alpha-r_p\omega t)^2} $$ $$ \theta=\text{atan}\,\frac{\pi m/4-m \tan \alpha-r_p\omega t}{r_p-m} $$ このときピニオン自体 $\omega t$ 回転しているのでピニオンと共に回転する座標では $$ \theta'=\theta-\omega t $$ となる。この曲線はトロコイド曲線と呼ばれるそうだ。

歯先の中心を基準とした極座標に直すには、 $$ \theta''=-(\theta'-2\pi/z/4)+2\pi/z/4 $$ とする。

これがインボルート曲線より内側に入る部分を取り除いて、適当なフィレットを付けて求めたのが挿入図の歯車の形状である。

実際の歯車を切削する際には、相手方のラック形状のホブの先端を頂隙分だけフィレット付きで延長しておくことにより、歯元に自然な形でなめらかなフィレットが付く。冒頭のインタラクティブな図形描画で指定する「フィレット」はこのホブ先端に付けるフィレットの径のことで、描かれる歯車の形状に必ずしもこの系の円弧が現れるわけではない。

LANG: js
  // トロコイド曲線
  // t = 0 から増やすと歯元から歯先へ描けるが
  // t が負の領域が必要になることもある
  const trochoid = (t) => {
    let y = (Math.PI * m) / 4 - m * Math.tan(a) + rp * t;
    let x = rp - m;
    let r = Math.sqrt(x * x + y * y);
    let theta = Math.atan2(y, x) - t;
    return [r, -(theta - Math.PI / z / 2) + Math.PI / z / 2];
  };

バックラッシュ†

歯を円周方向に薄くすることで無理なくバックラッシュを実装できる。

そのためには歯を切り出すためのホブの歯の厚みを変えて、それを使って切削すればいい。

上では円周方向のバックラッシュをピッチに対するパーセンテージで指定できるようにした。

1% とすると歯面を円周方向にピッチの 0.5% だけ下げることで、両サイド合わせて 1% だけ歯の厚みが減少する。1% のバックラッシュを持つ歯車を２つ組み合わせると合計で 2% のバックラッシュが生まれることになる。

転位†

通常より切削具を離した状態で切削を行うと、歯数は同じで一回り大きな歯車ができあがる。 このような歯車は転位歯車(shifted gear)と呼ばれる。

転位を使うことで歯車間の距離を微調節したり、歯先の干渉を減らしたりできる。

はすば歯車では標準的な歯垂直モジュールを指定すると基準円直径が無理数になってしまうため、軸間距離も無理数になってしまう。転位を行うことで軸間距離を切りの良い数字にすると設計が楽になる。

転位した歯車の軸間距離を求めるには難しい計算が必要になる。 単に基準円が増減するというだけでなく、軸間距離の補正量は相手の歯数にも依存して変化する。 工作/歯車について勉強する3#m951ac17 に計算機を置いた。

また転位した歯車は、組み合わせによっては干渉して回らないことがあるのでそこにも注意しないとダメみたいだ。