歯車について勉強する4 の履歴(No.5)

$$ a=\underbrace{\frac{z_1m+z_2m}{2}}_{\text{基準円半径の和}}\times \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha_w} =\underbrace{\frac{z_1m+z_2m}{2}}_{\text{基準円半径の和}}\times y' $$

として、

$$ y'=\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha_w} $$

を文字通り修正のための係数とみなすのもいいのかもしれない。

$y$ や $y'$ に含まれる $\alpha_\mathrm{w}$ はかみ合い圧力角と呼ばれ、

$$ \mathrm{inv} \alpha_\mathrm{w}=2\tan\alpha\Big(\frac{x_1+x_2}{z_1+z_2}+\mathrm{inv}\alpha\Big) $$

という方程式を解いて得られる。

ここでインボリュート関数は $\mathrm{inv} x = \tan(x) - x$ で与えられる。

インボリュート関数は $x$ を与えれば値を求めるのはたやすいものの、その逆関数は簡単な形で書けるものでないため近似式や漸化式を用いて計算することになる。

インボリュート関数†

そもそもインボリュート関数とは何なのか？

歯車の計算では、歯車が $\theta$ 回転する間にラックが $r_p\theta$ だけ移動するのを歯車から見ることで、ラックにより切削される歯車歯形を求めたりする。

この「$\theta$ 回転する間に $r_p\theta$ だけ移動」を表すのがインボリュート曲線なのだそうだ。

ラックが $(r,0)$ から $(r,-r\theta)$ へ移動する間に歯車が $-\theta$ 回転したとして、歯車に固定した座標から見たラック位置がどうなるかを考えたのが上の図である。

歯車が回転したことでラックが始めにいた点 $(r,0)$ は $\bm q$ に、ラックの現在位置 $(r,-r\theta)$ は $\bm p$ に見えることになる。求めたいのは $\bm p$ の座標だ。

三角形 $\bm O\bm q\bm p$ は直角三角形なので、

$$ \tan \alpha = \frac{r\theta}r = \theta $$

である。これを使うと点 $\bm p$ から原点までの距離は、

$$ |\bm p| = \frac r{\cos\alpha} $$

ベクトル $\bm p$ の $x$ 軸からの角度は

$$ \theta-\alpha=\tan\alpha - \alpha $$

であるから、

$$ \bm p=\frac r{\cos\alpha}\begin{pmatrix} \cos(\tan\alpha - \alpha)\\ \sin(\tan\alpha - \alpha) \end{pmatrix} $$

と表せることになる。

ここに現れる $\tan\alpha - \alpha$ の形をインボリュート関数と呼び、

$$ \mathrm{inv}\,\alpha=\tan\alpha - \alpha $$

と書く。

横軸をラジアンで取った関数形がこちら。

$\alpha$ の小さいところで $\tan \alpha \sim \alpha$ であるためこの関数は傾きゼロで始まり、$\alpha$ が大きくなると $\tan\alpha$ の増加が勝るのためほぼ $\tan\alpha$ になって $\alpha=\pi/2$ で発散する。

逆インボリュート関数†

既存の三角関数などを組み合わせて求めることはできないので漸化式を使う。

https://opeo.jp/library/onepoint/mech_elem/gear/inv_involute/

によると $a_1=1.441 (\mathrm{inv}\,\alpha)^{1/3}-0.374\mathrm{inv}\,\alpha$ から始めて

$$ a_{n+1}=a_n+\frac{\mathrm{inv}\,\alpha - \tan a_n}{\tan^2 a_n} $$

の漸化式を進めると $\lim_{n\to\infty}a_n = \mathrm{inv}\,\alpha$ となるそうだ。

ただやってみると、求めたい $\mathrm{inv}\,\alpha$ の値が $2$ よりいくらか大きいとき、初期値が悪くて発散してしまう。

$\alpha$ が大きいときの $\mathrm{inv}\,\alpha$ はほぼ $\tan\alpha$ なので、 $\tan^{-1}\mathrm{inv}\alpha$ から開始することで $\mathrm{inv}\,\alpha$ がとても大きいときにも正しく収束するみたいだった。

奇関数なので、$\mathrm{inv}\,\alpha<0$ の時は $-\mathrm{inv}\,\alpha$ に対して解いた結果の符号を反転すれば求まる。

下のテキストボックスに $\mathrm{inv}\,\alpha$ の値を入れるとこの計算を試せる。

逆インボリュート計算機：

LANG: p5js_live
p.setup = () => {
  p.createCanvas(1,1);
  p.createSpan('inv(a): ');
  const invAlpha = p.createInput();
  invAlpha.value(0.1);
  const answer = p.createDiv();
  const handler = () => {
    let inva = Number(invAlpha.value());
    const s = inva < 0 ? -1 : 1;
    inva = Math.abs(inva)
    let a = 1.441 * inva ** (1/3) - 0.374*inva;
    if (inva > 2) a = Math.atan(inva);
    let str = '';
    for (let i = 0; i < 10; i++) {
      str += `&nbsp; &nbsp; ${i} : ${a}<br/>`;
      if(a!=0) {
        const tana = Math.tan(a);
        a += (inva - tana + a) / tana ** 2;
      }
    }
    str += `<br>inv(${a}) = ${Math.tan(s*a) - s*a}`;
    answer.html(str);
  }
  handler();
  invAlpha.input(handler);
}

python ならこうかな？

LANG:python
from math import tan, atan
def inverse_inv(inva: float):
    if inva == 0:
        return 0
    if inva < 0:
        return -inverse_inv(-inva)
    a = 1.441 * inva ** (1/3) - 0.374 * inva if inva < 2.4 else atan(inva)
    a_prev = 2
    while True:
        tana = tan(a)
        a += (inva - tana + a) / tana ** 2
        if abs(a_prev - a) < 1e-15:
            return a
        a_prev = a

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