線形代数I
ベクトルとは?†
- 縦数ベクトル:
- 横数ベクトル:
- 幾何ベクトル:
- そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる
直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと1対1に対応させられる。
ベクトル空間とベクトル†
上記のように、
-
(スカラー倍)
-
(和)
が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。
詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。
集合について†
集合とは : 「要素」を含む物
集合については、ある要素を含むか、含まないか、が主な興味となる。
を集合、
を要素とすると、
-
:
は
の3つの要素からなる集合である
-
:
が
に含まれる
-
:
なら
である
- すなわち
が
に含まれる
- あるいは
が
の部分集合である
-
:
かつ
演算が「内部で定義されている」ということ†
たとえば、
という集合を考える。
これは2つのベクトルを含む「ベクトルの集合」であるが、スカラー倍や和に対して「閉じていない」。
例:
したがって、こういう集合はベクトル空間とは言わない。
n 次元数ベクトル空間†
- 実数の集合を
-
次元(縦)実数ベクトル空間を
と書くことにする。
以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを
- 複素数の集合
-
次元複素数の集合
に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。
1次結合(線形結合)†
の形を
の「一次結合」と言う。
例1:
の一次結合:
,
,
例2:
を
の一次結合で表せるか?という問題は、
を満たす
は存在するか?という問題と同値である。
例3:
任意のベクトル
は、
基本ベクトル
の一次結合として、
と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。
一次独立†
与えられた
に対して、
となるのが、
の時しかありえないなら、
「
は1次独立である」と言う。
- どんなベクトルが与えられても
なら条件を満たすこと
- 与えられたベクトルによっては
でなくても条件を満たすこと
に注意せよ。
例:
一次従属†
一次独立でないことを「一次従属である」と言う。
例:
は一次独立か、一次従属か?
例:
が一次従属であるとき・・・
一次独立と行列の階数†
一次独立であるという条件と、
の解が
しか存在しないという条件は同値。
方程式の一般解が1以上の自由度を持つ、とも同値だから
(
は常に解であることに注意)、
-
が一次独立
- それらを並べた行列
の階数が列数
より小さい
が同値な条件となる。
一次独立かどうかを調べるには rank を求めてベクトルの数と比べればよい。
例:
が一次独立になる条件を求めよ。
したがって、
の時に一次従属であり、そうでなければ一次独立となる。
A が正方の時†
以下の条件は同値である。
-
が一次独立
-
の解が
のみ
-
が正則
一次独立かどうかを調べるには
を計算すればよい。
一次独立の重要な性質†
● ゼロベクトルを1つでも含めば一次従属
●
が一次従属なら、そこにいくつかベクトルを加えた
も一次従属である
∵はじめの
列のうち1列でも掃き出せなければ、
全体の rank が列数よりも小さくなるため。
(別)
となる非ゼロの係数が存在するなら、
であり、
この係数は全てがゼロではないから、全体も一次従属となる。
●
が一次独立なら
その部分集合も一次独立である
∵上の定理の対偶になっている
●
次元ベクトルを
本以上集めたら必ず一次従属になる
∵対応する行列
のランクは行数
より大きくならないから。
● 一次独立と「張る空間」
-
本のベクトルが一次独立ならば、その一次結合は
次元空間を張る
- ベクトルが
本あってもそれらが一次従属ならば、その一次結合が
次元空間を張ることはない
(
次元
を張ることになる)
線形空間(ベクトル空間)†
線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Iでは上で扱った程度に止める。
線形写像と表現行列†
を与えると
を返すような関数
を考える。
すなわち
は様々な物が考えられるが、任意の
に対して、必ず1つだけ
が決まることが重要である。このようなベクトルの関数を「写像」と呼ぶこともある。
例:
,
の時、例えば
として定義される
は、
を1組決めれば
が決まるため、
の写像となる。
線形写像†
ある写像
が線形であるとは、任意の
および
に対して、
が成り立つことを言う。
-
は線形か? という問には
を確かめればよい
すぐ分かるように
-
となる。
線形写像は f(x)=Ax の形に書ける†
スカラー関数
が線形ならば、
であるから、
と置くことで
の形に書けることが分かる。
同様に、
が線形なら
と書ける。
∵ 任意のベクトルを
として基本ベクトルの和で表せば、
そこで、
と置けば、
逆に
と書ければこれは必ず線形となる。
-
を
の表現行列と呼ぶ
-
を
の定める線形写像と呼ぶ
例:
次の条件を満たす線形写像
の表現行列を求めよ。
(解答)
より、
合成写像†
のとき、その合成写像を定義できる。
(
などと書く)
その表現行列は、
であれば、
より
である。
例:
2次元ベクトル
をx座標方向に3倍してから反時計回りに45度回転する線形写像を考える。
x方向に3倍する:
45度回転する:
合成すると、