線形代数I
次の行列の階数 (rank) を求めよ。
(1)
次の行列は正則である。逆行列を求めよ。
(1)
(2)
解答1†
行基本変形により、1行目を使って他の行の1列目をゼロにする。
2行目を使って3,4行の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためには
あらかじめ3,4行を3倍しておけばよい。
2行目を使って3,4行の2列目をゼロにする。
3行目を使って4行目の3列目をゼロにする。
対角成分が4つ残ったので、
である。
解答1(別解)†
上記解答の最後の 8/17 倍するのが面倒であれば、
3行目から4行目の2倍を引く
4行目から3行目の8倍を引く
対角成分が4つ残ったので、
である。
解答2(1)†
与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。
行を入れ替えて左半分を対角行列にする。
各行に定数を掛けて左半分を単位行列にする。
したがって、逆行列は
解答2(2)†
与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。
1行目を使って2行目の1列目をゼロにする。
2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためにあらかじめ3倍しておく。
2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにする。
3行目を使って他の行の3列目をゼロにするため、あらかじめ7を掛けておく。
3行目を使って他の行の3列目をゼロにする。
4行目を使って他の行の4列目をゼロにするため、あらかじめ5を掛けておく。
4行目を使って他の行の4列目をゼロにする。
各行に定数を掛けて左半分を単位行列にし、右半分を取り出すとそれが逆行列となる。
約分すると、対称行列であることがはっきりする。
分母をそろえて外に出しても良い。
解答2(別解)†
計算順を工夫すると、比較的楽に答えが出る場合もある。
方針としては大きな掛け算を避け、こまめに足し算、引き算するのが良い。
1行目を使って2行目の1列目をゼロにする。
2行目を使って他の行の2列目をゼロにしたいが、2行目2列目の成分が1でないのでやりにくい。
そこで2行目に3行目を足すことで2列目に「1」(ここでは−1だが)を作る。
2行目を使って他の行の2列目をゼロにする。
ここでも同様に、3行目3列目を1にするために3行目から4行目×3を引く。
3、4行目を使って他の行の3列目をゼロにする。
4行目を混ぜて使うことで掛け算を最小限にしているところに注目。
4行目を使って他の行の4列目をゼロにするため、準備として5倍しておく。
4行目を使って他の行の4列目をゼロにする。
符号をそろえる。
従って、逆行列は
である。
逆行列の計算で面倒な数値になる場合、中途段階で計算を間違えていないかを検算する方法がある。
を行方向の基本変形を施した途中結果は
となっているはずである。
したがって、途中結果の右半分
に右から元の行列
を掛けて左半分
と等しくなれば、
その時点までの計算は間違っていないと判断できる。
コメント†
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